Zeigen Sie n!<= n^{n-1}

Question

Die umformung von n!

n!/k!(n-k)!

Soll ich dann einfach wieder n+1 machen.

Answer 1

Induktionsanfang n = 1

1! ≤ 1^{1 - 1}

1 ≤ 1

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)! ≤ (n + 1)^{(n + 1) - 1}

n!·(n + 1) ≤ (n + 1)^n

n! ≤ (n + 1)^{n - 1}

n! ≤ n^{n - 1}

Comments

Ich kann ja noch n!(n+1) nachvollziehen.

Abder den rest nicht mehr.

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Stimmt das so

n!<=(n+1)^{n}(n+1)^{-1}=(n+1)^{n-1}?

Der letute schritt ist mir einfach schleier haft^^

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Doch das stimmt so. Potenzgesetze nochmals anschauen.

https://www.youtube.com/watch?v=53r1DFziz_U

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Ich meinte den teil mit

(n+1)^{n+1}=n^{n+1}??

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Ich beweise auf diesem Wege mal das genaue Gegenteil:
Induktionsanfang$$   n = 1$$
$$1! \ge 1^{1 - 1}$$
$$1! \ge 1^{1 - 1}$$
Induktionsschritt n --> n + 1$$$$
$$(n + 1)! \ge (n + 1)^{(n + 1 - 1)}$$
$$n!·(n + 1) \ge (n + 1)^n$$
$$n! \ge (n + 1)^{n - 1}$$
$$ n!\ge n^{n - 1}  $$

Da ist doch irgendwas nicht so ganz optimal mit dem Beweis von Mathecoach, oder?

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n! ≤ (n + 1)^{n - 1}

n! ≤ n^{n - 1}

Erste Gleichung besagt das n! ≤ (n + 1)^{n - 1} ist. nun darf man zur abschätzung den rechten teil mutwillig kleiner machen. das passiert indem wir die Basis verkleinern. Wenn die 2. Zeile erfüllt ist muss die erste Zeile ja ohnehin erfüllt sein. Das die zweite erfüllt ist wissen wir aber bereits aus der annahme.

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@pleindespoir

wenn du zeigen willst das n! ≥ (n+1)^{n−1} darfst du den rechten teil nicht kleiner machen.

Aus n! ≥ n^{n−1} folgt noch nicht das auch n! ≥ (n+1)^{n−1} gilt.

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Ich hab das letzte nicht nachvollziehen können.

Gilz das immer?

Odr nur jetzt hier?

(n+1)^{n-1}=n^{n-1}

(1+1)^{1-1}=1^{1-1}

(2+1)^{2-1}=2^{2-1}

3=2

Oder mache ich doch was falsch??

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Wenn ich zeigen will das n + 1 größer als 5 ist, darf ich auch zeigen das n größer 5 ist. Denn wenn n größer als 5 ist dann muss n + 1 ja auch größer als 5 sein. wenn ich zeigen möchte das etwas größer ist als das andere kann ich also den term mutwillig verkleinern. das ist dann nicht mehr ist gleich. es ist auch keine Äquivalenzumformung.

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Achso ok

Hab mal eine frage da du ja weisst das ich im ersten "urlaubsemester"

Wie soll ein erstsemeszer auf all das kommen^^

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Steht sowas nicht in eurem Skript? Also ich erinnere mich an mein erstes Semester. Da haben wir auch die vollständige Induktion angesprochen. Zugegeben hatten wir damals kein gutes Skript, weshalb ich lieber nach einem Buch gearbeitet habe.

Für jede Stunde in der Uni solltest du 2 Stunden Hausarbeit für Vor- und Nachbereitung einplanen.

Vielleicht habt ihr schon die Abschätzung von Reihen über das Vergleichskriterium gemacht. Wenn ich wissen will ob eine Reihe divergiert kann ich zeigen das eine Reihe deren Folgeglieder alle kleiner sind divergiert. Dann muss auch meine Reihe divergieren.

Man bedient sich also des öftern mal des Vergleiches mit ähnliches Sachen.

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PS: Auch wenn die vollständige Induktion ein sehr wichtiges Beweismittel ist gefällt mir der Beweis von pleindespoir an dieser Stelle viel besser. Er ist direkt und leicht einsehbar.

Trotzdem ist es gut die vollständige Induktion an sehr vielen Beispielen mal gemacht zu haben.

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Ich hab ja das problem gerade das ich keine vorl4sung zabe dadurch das ich im urlaub semester bin.

Skript habe ich gedruckt und in moddle kann ich die aufgaben hochladen.

Ich muss schon sagen von zu hause zu "studieren" ist nicht  gerade leicht.

Answer 2

$$ n!\le n^{n-1} $$
$$ n(n-1)(n-2)(n-3) ...3\cdot2\cdot 1 \le n\cdot n \cdot n ... n\cdot n\cdot n$$
$$ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3) ...3\cdot2\cdot 1}{n\cdot n \cdot n ... n\cdot n\cdot n} \le 1$$
$$ \frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\frac{n-3}{n} ... \frac{4}{n}\frac{3}{n}\frac{2}{n} \cdot 1\le 1$$

Comments

Ich wär jetzt nicht vin alleine draufgekommen.

Abrr warum gilt das jetzt als beweis?

Ich zumindest kann es nicht erkennen warum es kleiner ist.

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Ein Produkt aus Faktoren die alle <= 1 sind ist selber auch <= 1.

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Sei doch etwas kreativ und setzt einfach mal ein paar Werte zur Visualisierung ein

n! <= n^{n - 1}

z.B. für n = 5

5 * 4 * 3 * 2 * 1 <= 5 * 5 * 5 * 5

5 * 4 * 3 * 2 <= 5 * 5 * 5 * 5

5/5 * 4/5 * 3/5 * 2/5 <= 1

Ist die letzte Gleichung erfüllt ist auch die erste erfüllt.

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Ah muss ich das so verstehen

n/n×4/n

1×1?

In dem fall wâre alles eins oder nicht?

Dann brâuchte man doch keine < od.> da es ja immer eins ist.

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5/5 ist 1 aber 4/5 ist doch nicht 1 sondern < 1 und 3/5 ist auch < 1.

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Das hatte ich doch mal gemacht, hatte abei ein falsches ergebnis bekommen.

Zitat ich

Ich hab das letzte nicht nachvollziehen können.Gilz das immer?Odr nur jetzt hier?(n+1)n-1=nn-1(1+1)1-1=11-1(2+1)2-1=22-13=2Oder mache ich doch was falsch??

Da hatte es ja nicht geklappt wo es noch nicht mutwillig gekürzt wurde^^

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Ah jetzt weiss ich wo mein denkfehler ist.

Ich dachte

n/n × 4/n

5/5 × 4/4 und so weiter.

Ah jetzt ist es mirklar

Danke ;)

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Zunächst mal. Stelle die Fragen immer unter dem Bereich worauf es sich bezieht. Dieses ist die Antwort von pleindespoir und wenn du daran etwas nicht verstehst dann frag hier. Wenn du etwas anderes nicht verstehst dann frag direkt darunter. Keiner der hier eine ähnliche Aufgabe machen muss hat Zeit und Lust deinen Gedankensprüngen zu folgen. Wenn du etwas nicht verstehst dann sag möglichst auch immer genau und präzise dazu was du nicht verstehst. Ich glaube ich habe deine Frage eigentlich schon hinreichend beantwortet warum das so ist. Bitte nimm dir auch zeit und versuche die Antworten die dir gegeben worden sind selber nachzuvollziehen. Nur übers anschauen lernt man es leider nicht. Das ist wie als wenn man denkt man lernt Autofahren nur durch mitfahren. Ich war 18 Jahre lang Beifahrer. Musste aber trotzdem noch fiel Fleiß und Arbeit investieren den Führerschein zu machen. Genau so ist das in Mathe. Nur duch ansehen der gegebenen Lösungen lernt man es nicht. Man muss es selber nachvollziehen. Schritt für Schritt.

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8ch danke dir sehr für deine mühen.

Um auch m8ch selbst zu überprüfen werde ich jetzt nochmal alle aufgaben diesbezüglich nochmal durch gehen und als neue frage reinstellen um dich zu fragen ob ich sozusagen fortschritte gemacht habe.

Ist das so ok?

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Nein. Bitte keine bereits gestellten Aufgaben nochmals einstellen. Du kannst gerne deine Zusammenfassung als Kommentar zur eigentlichen Frage veröffentlichen.

Oder du nimmst einfach noch nicht gestellte Aufgaben und überprüfst an den neuen Aufgaben deinen Fortschritt. Du kannst auch nach alten aufgaben hier suchen und diese Versuchen zu lösen. Dann hast du bereits eine Lösung mit der du kontrollieren kannst.

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Ok ich stelle sie unter den kommentaren ab.

Ich meinte mit fortschritt auch, deine ratschläge.

Ich bin grad dabei n^<2^n +1 aufgabe nachzu holrn.

Werde dann anschließend

2^n+1=n^2

Machen das ja noch anstand^^

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Auch das vierte hinbekommen^^

Darf man n+1^{n-1} nur mutwillig abkuerzen weil es eine ungleichung ist?

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Wenn du zeigen willst das x < 100 ist.

Langt es dann zu zeigen das x < 10 ist ?

Ich glaube schon, denn wenn x < 10 ist dann ist x auch automatisch kleiner als 100 oder nicht?

Das heißt man darf hier eine Abschätzung machen und den Ausdruck kleiner machen.

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Ah ok coole sache

Danke dir und den anderen

Habe in den letzten tagen viel dazu gelernt ;)