6 teilt n^3+5n. Zeigen Sie, dass es für alle n gilt.

Question

Soll das bedeutet das n^3+5n immer durch 6 teilbar ist?

n^3+5n=6k

n(n^2+5)=6k

(n^2+5)=6k/n

n=w(6k/n +5)

Ist der ansatz ok?

Oder wieder n> n+1

Wollte mal ohne das versuchen.

Comments

Zitat: Soll das bedeutet das n^3+5n immer durch 6 teilbar ist?

Ja!

Was hast Du denn mit Deinem Ansatz genau vor?

Wie lautet eigentlich die Aufgabenstellung?
Vielleicht: Beweise durch Induktion?

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Da steht nur zeigen sie das für alle n element N gilt.

Answer 1

Was meinst du denn mit: n> n+1 ?

Kannst du "modulo 6" rechnen?

n³+5n=6k

n(n^2 + 5)   ≡ n(n^2 -1) = n(n+1)(n-1)   modulo 6

n(n+1)(n-1) ist ein Produkt von 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Ein Faktor ist durch 3 teilbar und mindestens einer durch 2.

==> n^3 + 5n ist durch 6 teilbar.

Comments

Gibt es ein video zu modulo?

Ich habe mich an 2n+1<=2^n

Versucht . Scheitere am letzten schritt.

2^{n}+2 komme aber nicht weiter.

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Du brauchst kein Video zu Modulo du kannst es auch anders umformen.

n·(n^2 + 5)

= n·(n^2 - 1 + 6)

= n·(n^2 - 1) + 6·n

= n·(n + 1)·(n - 1) + 6·n

Beide Summanden sind durch 6 teilbar, damit ist auch die Summe durch 6 teilbar.

Answer 2

n^3 + 5·n ist für alle n ∈ N durch 6 teilbar.

Induktionsanfang: n = 1

1^3 + 5·1 = 6

Induktionsschritt: n --> n + 1

(n + 1)^3 + 5·(n + 1)

= (n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + (5·n + 5)

= n^3 + 3·n^2 + 8·n + 6

= (n^3 + 5·n) + 3·n^2 + 3·n + 6

= (n^3 + 5·n) + 3·(n^2 + n) + 6

= (n^3 + 5·n) + 3·n·(n + 1) + 6

Wir sehen jetzt 3 Summanden die alle durch 6 teilbar sind.

Comments

Ich zweifel so langsam an mir selbst ;(

Ich kann nicht erkennen das es durch teilbar ist.

Fehlt mir einfach nur übung?

Fehlt mir einfach nur vorlesung?

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(n³ + 5·n) ist die Induktionsannahme

3·n·(n + 1) ist durch 3 teilbar und weil entweder n oder n + 1 gerade ist auch durch 2 teilbar. damit insgesamt auch durch 6 teilbar.

das 6 selber durch 6 teilbar ist sollte jeder wissen.

Evtl solltest du mal teilbarkeitsregeln wiederholen.

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8ch hab das praktisch nochmal abgeschrieben und

Denke n^2 ist immer gerade 

Gerade mal gerade ergibt gerade und gerade ist immer durch 6(weil gerade teilbar)

Biild kommt gleich.

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B8ld dazu^^          

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n^2 ist nicht immer gerade

3^2 = 9 und 9 ist eindeutig ungerade!

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Au ja stimmt

Dann ist der ausdruck

N    (n+1)    (n-1)beispiel 1

Ung mal  ung +1 mal ung -1

Ung (gerade) = gerade

Beispielb2

Gerade mal ger+1 mal ger-1

Gerade mal (gerade) =gerade

Immer gerade

Da gerade mal gerade ist oder nicht ? ;)