Rekonstruktionen von Funktionen: ganzrationale Funktion 3. Grades

Question

Liebes Forum,

hier die Fragestellung aus meinem Schulbuch: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse bei -1 und die y-Achse bei 2. Bei 2 berührt er die x-Achse. Ermitteln sie einen Funktionsterm.

Vlt. hat jemand von euch eine Idee wie man das rechnet bzw. könnte mir das hier vorrechnen.

Gruß

Zedd

Comments

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c

Es ergeben sich folgende 4 Gleichungen:

f(-1) = 0

-a+b-c+d = 0


f(0) = 2

d = 2


f (2) = 0

8a+4b+2c+d = 0



f'(2) = 0

12a+4b+c = 0

Answer 1

Ganzrationale Funktion 3.Grades:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

1.Ableitung:

f '(x) = 3ax² + 2bx + c

f (-1) = 0       0 = a · (-1)³ + b · (-1)² + c · (-1) + d <=> 0 = -a + b - c + d

f (0) = 2        2 = a · 0³ + b · 0² + c · 0 + d <=> 2 = d

f (2) = 0        0 = a · 2³ + b · 2² + c · 2 + d <=> 0 = 8a + 4b + 2c + d

f '(2) = 0       0 = 3 · a · 2² + 2 · b · 2 + c <=> 0 = 12a + 4b + c

a = 0,5

b = -1,5

c = 0

d = 2

f (x) = 0,5x³ -1,5 x² + 2

Answer 2

Eine allg. Funktion dritten Grades sieht so aus:

$$  f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$

Aus Deinen Angaben ergeben sich folgende Gleichungen

$$  f(-1)=0 $$ $$ f(0)=2 $$ $$ f'(2)=0 $$ und $$ f(2)=0 $$

Das sind vier Gleichungen mit vier Unbekannten die Du lösen musst.

Comments

ok. Ich habe jetzt diese 4 Gleichungen aufgestellt:

1. -a+b-c+d = 0 

2. ax³+bx²+cx+2 = 0

3.  8a+4b+2c+d = 0 

4. 12a+4b+c = 0 

Was soll ich jetzt machen?

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Bei der zweiten Gleichung muss für \(  x=0 \) eingesetzt werden. Das ergibt schonmal die erste Lösung \( d=2 \) s. auch den Kommentar oben.

Damit ist das Problem auf die Lösung von drei Gleichungen mit drei Unbekannten reduziert worden. Jetzt mit Gauss weiter und das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform bringen und durch rückwärts einsetzen lösen.

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Könnte mir das vielleicht hier jemand kurz vorrechnen? Damit ich ein richtiges Beispiel habe und es dann an weiteren Aufgaben selbständig üben kann?

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Nee, vorrechnen geht nicht. Das bringt Dich nicht weiter. Was weisst Du denn über das Gaussverfahen zum lösen linearer Gleichungssysteme? Tipp: Wikipedia und so ählnich wie das Additionsverfahren, dass kennst Du ja wahrscheinlich.

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Ja, wissen schon. Aber es wäre echt hilfreich wenn es einer vorrechnen könnte^^

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Ja dann tuts mir Leid. Eigeninitiative ist ein Muss, jedenfalls für mich.

Answer 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse bei \(x=-1\) und die y-Achse bei Y\((0|2)\)  Bei \(x=2\) berührt er die x-Achse. Ermitteln sie einen Funktionsterm!

schneidet die x-Achse bei \(x=-1\) einfache Nullstelle

und bei \(x=2\) berührt er die x-Achse: doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\)

Y\((0|2)\):

\(f(0)=a(0+1)(0-2)^2=4a=2\)

\(a=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)(x-2)^2\)