Ermitteln von drittem Punkt auf einer Achse für rechtwinkliges Dreieck

Question

Gegeben sind P(-2/3) und Q(2/1). 

Kann man einen Punkt R auf den Achsen so festlegen, dass das daraus enstehende Dreieck rechtwinklig ist?

Comments

Du kannst zweierlei machen: Errichte Lotgeraden senkrecht zur Strecke PQ in den beiden Punkten P und Q undschneide die mit den Achsen. Zeiche außerdem einen Kreis (Thaleskreis) mit der Mitte der Strecke PQ als Mittelpunkt und der Länge der Strecke PQ als Durchmesser und schneide den mit den Achsen. Ich komme grob überschlagen auf mindestens zwei und höchtens acht Lösungen.

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Wo soll der rechte Winkel sein?

In P oder Q. Das ist am einfachsten.

Oder in R ?

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so genau wurde uns das nicht gegeben, aber ich denke mal in R, weil es ja auf jeden fall auf der x oder y achse liegen muss.

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Gibt es zu dieser Methode auf einen rechnerischen Weg ?

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Man könnte eine Koordinatenrechnung oder eine vektorielle Rechnung machen.

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Der rechte Winkel kann auch in P oder Q angenommen werden:
Der Punkt R kann sich trotzdem auf einer Achse befinden.
Ich versuche mich zuerst einmal an einer Lösung in R.

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Falls die Aufgabe so, wie beschrieben, gestellt wurde, dürfte es genügen, zu begründen, warum es mindestens einen solchen Punkt geben muss.

Aber natürlich ist die Berechnung aller Punkte auch interessant.

Answer 1

Die Skizze

Leider reichte der Platz auf dem Papier nicht mehr aus.
R ( xr  | 0 )

Ist der rechte Winkel in R stehen die beiden Dreieckseiten
PR und QR orthogonal zueineinder ( Tautologie ).

Zunächst habe ich die Steigungen der beiden Dreieckseiten
berechnet. Dann gilt

m(PR) = -1 / m(QR)

Es dürfte sich xr^2 = 1 ergeben
xr = 1 oder xr = -1

Das ganze mußt du nachprüfen. Für die y-Achse könnte
man selbiges machen.

Ich will jetzt fernsehen. Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Vielen vielen Dank !

Noch eine Frage: ich habe, als ich nach Y gesucht habe, y²-4y=1 herausbekommen. Was lese ich weiter daraus, oder habe ich etwas falsch gemacht?

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So, vom fernsehen zurück.

Ich habe meine beiden Lösuungen
R ( -1  | 0 ) und R ( 1  | 0 ) gerade zeichnerisch
überprüft. Sie stimmen.

Deine Frage kann ich noch nicht deuten.
Suchst du jetzt den Punkt R auf der y-Achse ?

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Die beiden Rs habe ich auch. Ebenso zwei weiter Rs auf der y-Achse.
Jeweils unter der Voraussetzung, dass der rechte Winkel an der Ecke R ist.