Zeige, dass eine der Summen nicht null ist. Bsp. -v_1 w_1 w_3 + v_3 w_1^2

Question

gegeben sind 2 Vektoren v,w ∈ℝ³, wobei v und w linear unabhängig sind. Zu zeigen ist, dass eine der drei Summen nicht null ist.

1. \(-v_3 w_1 w_2 + v_2 w_1 w_3\)

2. \(-v_1 w_1 w_3 + v_3 w_1^2\)

3. \(v_1 w_1 w_2 - v_2 w_1^2\)

Answer 1

I:$$ -v_3 w_1 w_2 + v_2 w_1 w_3 =0$$II:$$-v_1 w_1 w_3 + v_3 w_1^2=0$$III:$$v_1 w_1 w_2 - v_2 w_1^2=0$$
I:$$ -v_3 w_2 + v_2  w_3 =0$$II:$$-v_1  w_3 + v_3 w_1=0$$
III:$$v_1 w_2 - v_2 w_1=0$$
$$\left(\begin{matrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} w_1\\w_2\\w_3 \end{matrix}\right) =\left(\begin{array}{c} -w_3 v_2+w_2 v_3\\ w_3 v_1-w_1 v_3\\ -w_2 v_1+w_1 v_2 \end{array}\right) $$
Es handelt sich also um Komponenten des Kreuzproduktes. Wenn dieses Null ist, bedeutet das, dass die beiden Vektoren, aus denen es gebildet wird kollinear sind, was das gesteigerte Gegenteil von linear unabhängig bedeutet. Da aber lineare Unabhängigkeit gefordert wurde, muss eine der Gleichungen ungleich Null sein.

Comments

danke. Und könnte man das vielleicht ohne Kreuzprodukt machen?