Zeigen Sie, dass B'={v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} eine Basis von V ist.
Es reicht lineare Unabhängigkeit zu zeigen, da die Anzahl
gleich der Dimension ist.
Für lin. Unabh. Ansatz:
x*(v_1 - v_2)+y*(v_1 + v_2) + z*v3 = 0 (Nullvektor)
==> (x+y)*v_1 + ( y-x)*v_2 +z*v3 = 0
wegen lin. Unabh. von v1,v2,v3 also
x+y=0 und y-x=0 und z=0
also x=y=z=0 .
==> {v_1 - v_2, v_1 + v_2, v3} ist lin. unabh.
b) Berechne die Bilder der "neuen" Basisvektoren
und stelle sie mit der "neuen" Basis dar:
f( v_1+v_2) = 2v_1 -2v_2
= 2*(v_1-v2)
= 2*(v_1-v2) + 0*(v_1+v_2) + 0*v_3
also ist die erste Spalte der Matrix klar:
2 ? ?
0 ? ?
0 ? ?
entsprechend mit den anderen gibt es
2 8 4
0 2 8
0 -4 0
S und T sind die Matrizen für den
Basiswechsel, also
T = 1 1 0
-1 1 0
0 0 1
und S davon die Inverse.