Lineares Gleichungssystem mit zwei Parametern a und b.

Question

Hallo liebe Mathe-freunde,

hier eine LGS mit Parameter... ich finde Sie ziemlich kniffig...(Oder ich weiß nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin...)

x₁    + 2x₂          -  x₄    = 2
x₁    + 2x₂ + x₃  + x₄     = 1
2x₁  + 4x₂ + x₃  + ax₄   = 5
-2x₁ - 4x₂ + 3x₃ - 4x₄   = b

Das Ziel ist es, zu prüfen für welche a, b ∈ ℝ das LGS lösbar ist. Und dannach die Lösungsmenge anzugeben.

1.) Angefangen mit dem Versuch a und b erstmal gar nicht zu beachten und einfach Zeilenumformung anzuwenden, so dass ich  irgendwie ein Ergebnis rausbekomme und dann a und b sinnvoll einsetze.

Jedoch bin ich mit den zwei Parameter irgendwie daran gescheitet, bzw. kam bei meiner Rechnung nur Pudding raus...

Also 2.) Habe ich versucht Fälle zu bilden z.B. angenommen a = 0, ... wie ihr wahrscheinlich vermutet bin ich da auch irgendwie gescheitet sonst würde ich ja hier nicht dumm Fragen....


Also wie würdet Ihr vorgehen? Bzw. mit welchem Ansatz schaft ihr die Ziele zu erfüllen?

Gruß
xpAtti88x

Answer 1

Das ist der Text aus Wiki:

Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, kann das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar.

D.h. Du musst erstmal die Determinate bestimmen.

Comments

Ja vielen dank für deinen Beitrag...

Also mal "kurz" die Determinante ausgerechnet die ist = 0,

Also muss man jetzt die Nebendeterminante ausrechnen....nunja

Wie bei einer 4x4 Matrix?!?

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Also nochmal zum Verstädnis... vielleicht ist das ja falsch wie ich es Verstanden habe...

Du hast geschrieben

"Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, kann das System unendlich viele Lösungen haben, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar."

Für mich heißt das:

                                         1  2  0   -1                                                                                                             2

Koeffizientenmatrix = 1  2   1    1         = 0  Jetzt ersetze ich nach einander jede Spalte durch b =   1

                                         2  4    1  a                                                                                                             5

                                        -2 -4   3  -4                                                                                                            b

Da die ersten zwei Spalten für die Determinante 0 ausschlag gebend sind kommt da jetzt mit der einsetzung andere Werte raus. z.B  -48 und 25, rückt die Spalte b jedoch an 3 und 4 Stelle kommt wieder Determinante = 0 raus.... d.h. das Gleichungssystem ist unlösbar???

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Ich hab da mal in mei Matheprogramm eingegeben und komme auf das gleiche Ergebnis.