Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen in Abhängigkeit von zwei Parametern lösen

Question

ich muss für eine Mathe-Aufgabe die Lösung des Gleichnungssystems mit zwei Variablen (c und d) und zwei Parametern (a und b) bestimmen.

ad + bc = 0

ac + 2db = 1

Hatte da an den Gauß-Algorithmus gedacht, aber dafür müsste ich ja erstmal die Parameter a und b isoliert auf die rechte Seite bringen. Aber daran scheitere ich. Hat jemand einen Tipp?

Answer 1

Schreibe das LGS zunächst in Matrixform hin: $$\begin{pmatrix} b & a \\ a & 2b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$ ... dann sieht man besser, wo welche Faktoren hin kommen. Dann berechne die Determinante $$D = \left|\begin{array}{cc} b & a \\ a & 2b  \end{array}\right| = 2b^2-a^2$$ und anschließend die Variablen, indem man den Ergebnisvektor \((0| \space 1)\) in die jeweilige Spalte der Variable einsetzt $$c = \frac{\left|\begin{array}{cc} 0 & a \\ 1 & 2b  \end{array}\right|}{D} = \frac{-a}{D} = \frac{-a}{2b^2-a^2}\\ d = \frac{\left|\begin{array}{cc} b & 0 \\ a & 1  \end{array}\right|}{D} = \frac{b}{D} = \frac{b}{2b^2-a^2}$$ Das ganze nennt sich Cramersche Regel und funktioniert auch für mehr als zwei Variablen; wird dann aber unübersichtlich.

Answer 2

 ad + bc = 0  | *a/b

2bd + ac =1

------------------

a^2/b d + ac = 0

2bd + ac =1
------------------

(a^2/b -2b) d = -1

Answer 3

Löse ad + bc = 0 nach d auf und setze in ac + 2db = 1 ein und löse nach c auf. Dann erhältst du:

c=a/(a²-2b²); d=-b/(a²-2b²)

Answer 4

Nach Gauss solltest Du z.B. (Edit Variablen c,d)

ad + bc = 0 | a

2db+ac = 1 | -b

multiplizieren und die Differenz berechnen