Trigonometrie: ( 9 cos x - 5 sin x)2 = A * cos2x+ B*sin (2x) +C für alle x. A, B?

Question

Bestimme die Konstanten A,B und C, so dass ( 9 cos x - 5 sin x)² = A * cos2x+ B*sin (2x) +C für alle x gilt !

Wie gehe ich da vor ?

Comments

So
( 9 cos x - 5 sin x)² = A * cos(2x) + B*sin( 2x) +C
oder
( 9 cos x - 5 sin x)² = A * ( cos x)^2 + B* ( sin x )^2 + C

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Ja , aber wie bestimme ich die Konstanten?

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Das hat ja Mathecoach gemacht. Vgl. seine Antwort.

Answer 1

(9·COS(x) - 5·SIN(x))^2

= 81·COS(x)^2 - 90·SIN(x)·COS(x) + 25·SIN(x)^2

= 81·COS(x)^2 - 90·SIN(x)·COS(x) + 25·(1 - COS(x)^2)

= 56·COS(x)^2 - 90·SIN(x)·COS(x) + 25

a·COS(2·x) + b·SIN(2·x) + c

= a·(2·COS(x)^2 - 1) + b·2·SIN(x)·COS(x)+ c

= a·(2·COS(x)^2 - 1) + b·2·SIN(x)·COS(x)+ c

= 2·a·COS(x)^2 + 2·b·SIN(x)·COS(x) - a + c

2·a = 56 --> a = 28

2·b = - 90 --> b = - 45

c - a = 25 --> c - 28 = 25 --> c = 53