Gegeben ist die rekursiv definierte Folge. Berechnen Sie den Grenzwert von (a_{n})

Question

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge

\( a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+2}, \quad n \geq 1 \)

Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right) \) monoton fällt und konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert von \( \left(a_{n}\right) \).

Ansatz:

Ich weiß ja, dass a_n > a_n+1 muss oder? Aber was ist hier in diesem Fall mein a_n ?

Answer 1

Du musst nachweisen, dass jeweils a_n ≥ a_n+1  gilt. Dabei kannst du aber eben nicht mit konkreten Zahlenwerten rechnen, sondern musst den Nachweis mittels algebraischer Argumente führen. Nimm dir also beispielsweise die Differenz d_n = a_n+1-a_n  vor, schreibe alles mittels a_n allein und zeige, dass  d_n stets kleiner oder gleich Null sein muss.

Answer 2

dass \( a_n > a_{n+1} \) gilt weißt du nicht, sondern das sollst du zeigen (deswegen steht in der Aufgabe auch: Beweise, dass die Folge monoton fällt).

\( a_n = n \) ist falsch (dann würde sie ja nicht monoton fallen sondern ins unendliche divergieren)

Konvergenz folgt aus der Monotonie UND der Beschänktheit....

Sobald du weißt, dass die Folge konvergiert kannst du den Grenzwert berechnen.

Hinweis: \( \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim \limits_{n \to \infty} a_n \)

Gruß

Comments

ok kannst du mir vielleicht den 1. Schritt hinschreiben, damit ich einen Anfangspunkt habe :)

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1. Schritt wäre um \(a_n \geq a_{n+1} \) zu zeigen zu schauen ob für jedes \( n \in \mathbb{N} \) gilt
$$ a_n \geq \frac{a_n}{a_n + 2} $$

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versteh mich bitte nicht falsch aber wir haben leider keine übungen dazu oder sonstiges. wir haben dieses thema am letzten mittwoch gelernt und sollen jetzt bis diesen mittwoch solche aufgaben abgeben. ich hab leider keinen plan wie ich hier auf eine lösung komme. Ich hab jetzt genug videos usw angeschaut aber genau so eine aufgabe wie die da oben finde ich nich...

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Ungleichungen zeigen müsste doch innerhalb deiner Möglichkeiten liegen. Versuch doch mal mit dem obigen Ansatz weiter zu kommen....poste von mir aus die Stelle an der du nicht weiterkommst und wir können dann weitergucken. Komplettlösungen für Studenten die ihre Übungszettel abgeben müssen werde ich hier nicht reinstellen.