Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
Da die eine Richtung trivial ist müssen wir nur zeigen
\(\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{x\},\{x,y\}\}\Rightarrow x=a\wedge y=b\).
Sei also \(\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{x\},\{x,y\}\}\).
Fall 1: \(a\neq b\)
\(\Rightarrow \{a\}\neq\{a,b\}\). Folglich gilt:
\(\{a\}=\{x\}\) und \(\{a,b\}=\{x,y\}\)
Daraus folgt: \(a=x\Rightarrow \{a,b\}=\{a,y\}\Rightarrow b=y\).
Fall 2: \(a=b\)
\(\Rightarrow \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}\).
Damit enthält auch \(\{\{x\},\{x,y\}\}\) nur ein Element, und wir haben
\(\{\{a\}\}=\{\{x\}\}\), folglich \(b=a=x=y\).
