Obere Schranke einer Menge bestimmen

Question

Was eine obere Schranke ist, das ist klar.
Jedoch nicht, wie man es von einer Menge bestimmt.

Ich habe z.B. die Menge M = {1 - 1/n | n ∈ ℕ }

Hier wäre eine obere Schranke dann einfach 1, 2, 3,5 oder 5. (Sozusagen ∀x ≥ 1)



Jedoch wenn man die Menge N = { p/q ∈ ℚ | p² ≤ 2q² , p,q > 0 }

Wie kann man hier vorgehen, um eine obere Schranke zu bestimmen?

Answer 1

Die Bedingung kannst du ja auch als p^2/q^2 <= 2 schreiben, oder auch    (p/q)^2   <= 2
Also mit Worten: Du suchst Brüche (p/q) deren Quadrat kleiner oder gleich 2 ist.
Davon gibt es jede Menge   z.B   1/3     6/7      14/10   etc.
Alle Brüche, die kleiner als Wurzel aus 2 sind.

Comments

Würde es also bedeuten, dass sup(N)=2 ist und obere Schranken dann 2, 3 oder Zahlen größer 2 sind?

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sup = wurzel aus 2

und obere Schranken alles was größer als wurzel aus 2 ist.

ABER: Wenn das Ganze nur in Q betrachtet wird, gibt es kein Supremum,

da wurzel aus 2 nicht in Q.

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nicht 2, sondern wurzel aus 2

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obere Schranken sind alle Brüche, die größer als wurzel aus 2 sind, z.B.

3/2,    6/3   etc.

sup gibt es nicht