n^n obere Schranke von n!

Question

wie beweist man, dass n^n obere Schranke von n! ist.

lim n! / n^n für n gegen unendlich müsste ja dafür 0 sein. Aber wie llöst man diesen Grenzwert. Hopital geht ja schlecht.

Vielleicht habt ihr Ideen :)

Answer 1

Beweise durch Induktion nach n.

Für n ist es wahr:   1¹ ≥ 1!

wenn nⁿ ≥  n! dann gilt

(n+1)ⁿ⁺¹ = (n+1)ⁿ * (n+1)

          ≥      nⁿ * (n+1)    dann Ind. vor.

         ≥      n!  * (n+1)

                  = (n+1)! 

Answer 2

Das lässt sich auch leicht zeigen durch Hinschreiben der ersten Faktoren des Bruches.

Die Faktoren im Zähler werden immer kleiner, die im Nenner bleiben konstant .Damit geht der Bruch gegen Null.