Bestimmtes Integral mit undefiniertem Ausdruck

Question

Ich möchte folgendes Integral berechnen:

∫(von 0 bis 1) ln(x) dx

Die Stammfunktion von ln(x) habe ich. Das ist

-x+x*ln(x)

Dann habe ich eingesetzt. Für die obere Grenze habe ich -1 raus . Die untere Grenze ergibt ja einen undefinierten Ausdruck durch ln(0). Jetzt ist meine Frage, wie ich das ganze aufschreiben soll? Als Ergebnis dann -1 und den undefinierten Ausdruck einfach nicht beachten?

Comments

Hi,

ich würde das so einfach so aufschreiben:

$$ \int_{0}^{1} ln(x)dx=[x\cdot ln(x)-x]_0^1=-1$$

das kann aber auch falsch sein, da ich die Integralrechnung noch nicht in der Schule hatte. Also nur eine idee wie ich das selber aufschreiben würde.

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Danke auch an dich. Ist mir allerdings zu kurz und beantwortet auch nicht so ganz meine Frage.

Answer 1

Du betrachtest das Integral von t bis 1.
Das gibt dann -1 - ( -t + t*ln(t) ) also   -1-t-t*ln(t).
Dann bestimmst du den Grenzwert dieses Ergebnisses für t gegen 0.
Dabei ist das Problem der Grenzwert von t*ln(t) für t gegen 0.
Am besten setzt du einfach mal für t ein paar Werte ein, z.B.
t=0,1   t=0,01    t=0,001.
Dann vermutest du schon, dieser Teil hat den Grenzwert 0, also
ist der gesamte Grenzwert  -1, also hat das Integral den Wert -1.

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Jetzt ist es mir klar geworden.

Answer 2

Schreibe einfach

$$ \int_{0}^{1}\ln(x)dx = \lim_{\beta \downarrow 0} \int_{\beta}^{1} \ln(x)~. $$

Dann berechnest du ganz normal das Integral, tust so als sei \(\beta\) eine ganz normale Zahl und am Ende berechnest du den entsprechenden Grenzwert.