Aufgabe aus Mengenlehre lösen? Personen haben CD, Hut und Kuchen mitgebracht.

Question

89 Personen hat an einem Party teilgenommen. Jede Person hat mindestens eine von CD, Hut oder Kuchen mitgebracht. 50 von ihnen brachten CD, 40 Hut, 30 Kuchen, 15 CD und Kuchen, 11 CD und Hut, 8 Hut und Kuchen . nun die Fragen:

- wieviele brachten genau 2 von diesen Dingen?

- wieviele brachten alle drei Dingen?

- wieviele brachten genau ein Ding?

!

Answer 1

Zeichne ein Venn-Diagramm.

Beschrifte es.

Stelle ein LGS auf.

Löse es.

Beantworte dann die Fragen.

Answer 2

Es gibt also 3 Sorten Partygäste:
Manche haben 1 Teil mitgebracht, die Anzahl dieser Gäste nenne ich x.
Manche haben 2 Teile mitgebracht, die Anzahl dieser Gäste nenne ich y.
Manche haben 3 Teile mitgebracht, die Anzahl dieser Gäste nenne ich z.

Dann gilt mal erst   x+y+z=89    Es sind ja insgesamt 89 Gäste.

Die Anzahl der insgesamt mitgebrachten Teile ist x+2y+3z
und im Text heißt es 50Cds 40 Hüte 30 Kuchen also insgesamt 120 Teile.
Deshalb 2. Gleichung  x+2y+3z=120 

Die Leute, die mehr als 1 Teil mitgebracht haben, werden in der Aufzählung
CD und Kuchen, CD und Hut, Hut und Kuchen gezählt. Das sind insgesamt 15+11+8=34.
Es sind allerdings nicht 34, die genau 2 Teile mitgebracht haben, denn hier stecken
auch die drin, die 3 Teile mitgebracht haben.
Jemand, der 3 Teile mitgebracht hat wird allerdings 3-mal gezählt, nämlich
zuerst bei CD und Kuchen, dann bei CD und Hut und auch bei Hut und Kuchen.
Also gibt das die Gleichung   y+3z=34

Diese drei Gleichungen bilden ein Gleichungssystem, das die Losung hat
x=61   y=25     z=3
Diese drei Zahlen liefern die gesuchten drei Antworten.