Vektor Algebra Skalarprodukt

Question

Hallo erstmal...

Ich habe große Probleme mit dem Thema Vektor Algebra. Es gibt manchmal Aufgaben wo ich dass machen kann und manchmal nicht....Das Thema fällt mir einfach schwer :(

Kann mir jemand vielleicht behilflich sein? Schritt für Schritt auch erklären wie man es macht ggf wie man zum Ergebnis kommt und warum man das so rechnet....in 3 Wochen schreibe ich einen Test. Und bis dahin möchte ich das verstehen.

Würde mich sehr freuen, wenn jemand mir helfen könnte...Ich verstehe einfach nichts :(

1 Aufgabe

1.1) Die Vektoren a und b aus ℝ³   besitzen jeweils die Länge 2 und Erfüllen die Gleichung 

(2a-3b)*(2a+b)=-4 

( Die kleinbuchstaben also a und b haben jeweils ein Pfeil drüber, ich konnte das bloß hier nicht einfügen)

Wie groß ist das Skalarprodukt a*b?  

Welchen Winkel schließen a und b ein?

1.2)  Die drei Punkte A=( 3,a, 5) ,  B=(-1,1,2)   C=(-3,6,-2) spannen im ℝ³ ein Dreieck auf  (a∈ℝ)

Verschiebt man dieses Dreieck um den Vektor \(v = \begin{pmatrix} -\frac { 2 }{ 3 }  \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)  so überstreicht es ein Prisma im Raum

a)Wie groß ist das Volumen V dieses Prismas? ( Hinweis: Man betrachte Sparprodukt von AB, AC und v)

b) Man bestimme a so, dass V=0 wird. Was bedeutet dies geometrisch für die Vekttoren AB, AC, und v?

Aufgabe 2) Gegeben seien die 3 Vektoren \(a= \left( \begin{matrix} x \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \)  , \(b=\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right)\) und  \(c= \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ x \end{matrix} \right) \)

a) Man berechne das Spatprodukt der drei Vektoren

b)Wie muss man x wählen, damit das Volumen des von den Vektoren a, b, und c aufgespannten Spats  20 ist?

ich komme einfach nicht weiter...ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Das Thema ist kompliziert...

Bitte mit Rechenschritten erklären, weil dann ich das besser verstehen und wenn ich etwas nicht nachvollziehen kann, dann kann ich auch fragen...

bedanke mich schon jetzt für eure Hilfe und Mühe

Comments

Bei 1.2)ist der Vektor v= ein Klammern ( -2/3, 1, 3)

irgendwie konnte ich das mit dem Formeleditor nicht einfügen...hoffe Ihr wisst was ich meine

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wenn du Tex Formeln einfügen möchtest, muss du die untere Zeile im Editor kopieren und das Kopierte zwischen zwei Paar Dollerzeichen setzen. beste Grüße

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Habe es korrigiert. Du darfst die TeX-Sachen nicht dick schreiben ;).

Answer 1

Ich schreib dir mal waqs zu 1.1:
(2a-3b)*(2a+b)=-4    Kannst du mit den üblichen Regeln umformen,
musst nur die Pfeile wieder über die a und b machen. Das gibt
4a*a -6b*a + 2ab  - 3b*b = -4   (Schreibe nicht a hoch 2, das ist bei Vektoren nicht üblich.)
4*a*a   -  4*a*b   -3*b*b = -4     Vielleicht kennst du ja den Satz
   Skalarprodukt von Vektor x mit sich selbst = Länge von x zum Quadrat.
Da deine Vektoren die Länge 2 haben ist a*a=4 und b*b=4. Einsetzen gibt:
4*4   - 4*a*b  -3*4 = -4
         -4*a*b           = -8    Durch -4
               a*b = 2   Also hat das Skalarprodukt von a und b den Wert 2.

Für Winkel alpha zwischen a und b gilt die Formel
                         Skalarprodukt von a und b = Länge von a * Länge von b* cos(alpha)
                        Einsetzen gibt
                               2     =      2   *    2   * cos(alpha)
                           0,5     =    cos(alpha)
                              Also alpha=60 Grad.

Comments

"Schreibe nicht a hoch 2, das ist bei Vektoren nicht üblich"

ist das immer so?? Wäre das z.B falsch gewesen, hätte ich da jetzt nicht 4*a*a sondern 4*a² hätte? Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich das ganze nur gleichsetzen und ganz normal auflösen. Richtig? in diesem Falle sind a und b gleich...aber was würde man z.B machen wenn da jetzt stehen würde a=2 und b=5? 

ich meine muss ich bei solchen Aufgaben immer gleichsetzen? Oder kann es auch mal vorkommen das zwei Unterschiedliche Ergebnisse man hat? 

Vielen dank für deine Hilfe und Mühe :=)  ich weiß ich stelle zu viele Fragen aber ich möchte es verstehen warum und wieso man das so rechnet...

Könnten wir auch mal zusammen die Aufgabe mir Prisma machen? 

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Du musst zwischen der Länge des Vektors und dem Vektor selbst unterscheiden.

b=5 kann ja nur heißen: Der Vektor b hat die Länge 5

Und dann ist das Skalarprodukt b*b=25

Du kannst also nur für b*b etwas einsetzen, den Vektor selbst du ja nicht.

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Sieh mal zu dem Prisma z.B. bei Wikipedia unter "Spatprodukt" nach.

Die drei Vektoren, die bei Wikipedia a,b,c (jeweils mit Pfeil darüber) heißen,

sind bei dir AB und AC und v.   Der Spat hat dann allerdings das von AB und AC

aufgespannte Parallelogramm als Grundfläche, er ist also genau doppelt

so groß wie dein Prisma. Du musst am Schluss also noch durch 2 teilen.

Rechne erst mal AB und AC aus und bilde von den beiden das Vektorprodukt.

Das gibt den Vektor (also die drei Komponenten untereinander schreiben und

nicht wie ich nebeneinander  (5a+10;-17;-a-19) Und dann das Skalarprodukt

mit dem Vektor v. Dann habe ich (-19/3)a-242/3 heraus. Das noch (s.o.) durch 2

teilen, und davon den Betrag nehmen. Dann hast du das Prismavolumen.

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Danke für deine Hilfe :=)

Also du hast ja gesagt ich soll erstmal AB rechnen und AC. Wir haben ein Buch und da stand eine Formel bei mir, ich hab das versucht über die Formel direkt zu rechnen. Aber das was du heraus bekommen hast, bekomme ich nicht heraus.

Im Buch steht die Formel so:

$$\xrightarrow { a } *\xrightarrow { b } =\left( \begin{matrix} ax \\ ay \\ az \end{matrix} \right) \quad *\left( \begin{matrix} bx \\ by \\ bz \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} aybz-azby \\ azbx-axbz \\ axby-aybx \end{matrix} \right)$$

ich habe dann das so gemacht für AB=  $$\left( \begin{matrix} a*2-5*1 \\ 5*(-1)-3*2 \\ 3*1-a*(-1) \end{matrix} \right)$$

und als Ergebnis habe ich dann:  $$\left( \begin{matrix} 2a-5 \\ -11 \\ 3-1a \end{matrix} \right)$$

das ganze habe ich dann auch für AC gerechnet und da habe ich als Ergebnis

$$\left( \begin{matrix} -14 \\ -8 \\ -3 \end{matrix} \right)$$

ist das Richtig? Im Buch stand die Formel direkt das Vektorprodukt ausrechnen. Aber das was du herausgefunden hast, ist ja ganz anders, als was ich habe? Was mache ich denn Falsch?

Und das Spatprodukt kann ich ja auch noch nicht rechnen weil ich nicht sicher bin ob das schon richtig ist...

ich habe versucht mit dem Formeleditor alles einzufügen, auch mit dem $ zeichen. Hoffentlich geht das jetzt.

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Um den Vektor von A nach B zu bestimmen, musst du die Ortsvektoren voneinander

subtrahieren. Das gibt

AB =( -4  ;   1-a   ; -3 )   und AC  =   (-6   ;   6-a;   -8)

Und mit den beiden machst du die Rechnung mit der Formel

die du da gefunden hast (Das nennt sich Vektorprodukt oder Kreuzprodukt)

Das gibt dann (Da hatte ich mich vertan)   (4a+11    ; -10   ;  -2a-18)

Und von diesem Vektor das Skalarprodukt mit v gibt dann  (-26/3)a - 214/3 

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Als ich habe das versucht zu rechnen. Ich bin an deinen Werten nah aber nicht exakt. Irgendwie mache ich noch Fehler oder du hast ein Rechenfehler, wobei eigentlich ich den Fehler haben müsste, weil du kannst es ja aber ich nicht...

Also als erstes habe ich das gerechnet wie du es gesagt hast, AB voneinander Subtrahiert.

$$\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 3 \\ a \\ 5 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -4 \\ 1-a \\ -3 \end{matrix} \right)$$

und für AC habe ich

$$\left( \begin{matrix} -3 \\ 6 \\ -2 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 3 \\ a \\ 5 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -6 \\ 6-a \\ -8 \end{matrix} \right)$$

dann habe ich die Formel benutzt wie du es gesagt hast...und da fängt schon das Problem an, weil man hat ja nicht nur Zahlen sondern auch Buchstaben...

$$\left( \begin{matrix} -4 \\ 1-a \\ -3 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} -6 \\ 6-a \\ -8 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1-a*(-8)-(-3)*6-a \\ -3*-6-(-4)*(-8) \\ (-4)*6-a-(1-a)*-6 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5a+10 \\ -14 \\ -2a-18 \end{matrix} \right)$$

danach habe ich das Ergebnis mit v mal genommen

$$\left( \begin{matrix} 5a+10 \\ -14 \\ -2a-18 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} -\frac { 2 }{ 3 }  \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -\frac { 3 }{ 10 } a-\frac { 20 }{ 3 }  \\ -14 \\ -6a-54 \end{matrix} \right)$$

ich habe alle einzeln mal genommen, sprich 5a*-2/3  usw...

und beim zusammenfassen habe ich das dann so gemacht, ich habe erstmal alle anderen Zahlen ohne Buchstaben erstmal addiert, danach das mit den Buchstaben. Und habe zum Schluss das hier raus

$$-\frac { 63 }{ 10 } a\quad -\frac { 224 }{ 3 }$$

ob das bisher so richtig ist???

und dann hattest du doch noch gesagt ich müsste für das Volumen durch 2 teilen...wenn das Ergebnis jetzt stimmen sollte, wie würde ich das denn rechnen, ich meine direkt dann z.B -63/10 a durch /2  und -224/3 durch 2?? aber ich hätte doch trotzdem wieder 2 werte dann oder nicht?

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und wie geht es denn jetzt weiter? a ist z.B immer noch unbekannt, muss ich das gar nicht rechnen? und wenn ja wie??
ich komme einfach nicht weiter :(  Ich weiß auch nicht was ist hier falsch mache :(

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Du hast für den Vektor AC etwas falsch gerechnet. -2-5 = -7.

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Ja, das a bleibt natürlich da drin.

Das ist sozusagen eine Formel für das Volumen,

denn das a ist ja auch als Koordinate des

gegebenen Punktes eine Variable,

die bleibt auch im Ergebnis.