Skalarprodukt: Bestimmen Sie die zugehörige Norm ||·|| für die reelle Zahl

Question

Für \( x, y \in C^{n}, y \neq 0, \operatorname{sei} p(x, y)=\frac{\langle x, y\rangle}{<y, y>} y \)

wenn \( \langle°, °\rangle \) das Standardskalarprodukt im \( C^{n} \) bezeichnet.

Bestimmen Sie die zugehörige Norm \( \|\cdot\| \) im Fall \( n=3 \) für die reelle Zahl \( \| p\left(\left(\begin{array}{c}{1} \\{i}\\ {-1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{3} \\ {0}\\{4i}\end{array}\right)\right) ||\)

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht, was das n=3 bewirken soll. Unabhängig davon verhaspel ich mich und bekomme krumme Werte heraus. Ich habe das Gefühl, dass ich irgendwas mit der komplexen Konjugation falsch gemacht habe.

Answer 1

Aloha :)

Beim Skalarprodukt in \(\mathbb{C}\) wird die erste Komponente komplex konjugiert, daher ist:$$p(x,y)=\frac{\left<\left(\begin{array}{c}1\\i\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)\right>}{\left<\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)\right>}\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}1\\-i\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\-4i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)$$$$\phantom{p(x,y)}=\frac{3-4i}{9-16i^2}\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)=\frac{3-4i}{25}\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)$$Davon die Norm ist:$$\left|p(x,y)\right|^2=\frac{3+4i}{25}\left(\begin{array}{c}3\\0\\-4i\end{array}\right)\cdot\frac{3-4i}{25}\left(\begin{array}{c}3\\0\\4i\end{array}\right)=\frac{9-16i^2}{25^2}\left(9+0-16i^2\right)=1$$$$|p(x,y)|=1$$

Comments

Bei der Def p(x,y) war aber noch ein y im Spiel, wo ist das hin gekommen?

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p(x,y) wurde un der ersten Zeile ausgerechnet. Das Ergebnis ist eine komplexe Zahl.

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Nein, das Ergebnis von p ist die Projektion des Vektors x auf y:

$$x, y \in C^{n}, y \neq 0, \operatorname{sei} p(x, y)=\frac{\langle x, y\rangle}{<y, y>} y$$

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Oha, ich brauche eine Brille... Danke, jetzt habe ich erst verstanden, was ihr meint. Ich korrigiere das.

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Hallo:) könntest du vielleicht sagen, wie du auf die Berechnung der Norm kommst. Ist das nicht in einem unitären Raum so, dass man diese so berechnet IIxII=√⟨v,v⟩, wobei ein V komplex konjugiert genommen werden muss? Wieso darfst du da die Wurzel weglassen?

Und ich verstehe auch bei dieser Aufgabe irgendwie nicht so recht, was dass "°" bedeutet... Ist das so eine Art Platzhalter für p?