Wie berechne ich das Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren?

Question

Sei $$u_1, ..., u_n$$ eine orthonormale Basis mit n ≥ 7 und seien $$ x=3u_2+iu_4-2u_6+(3-2i)u_7, y=-4u_1+(-2+3i)u_2+2iu_4-7u_5+u_7$$

Berechnen Sie <x,y> (Skalarprodukt).

Hat da jemand einen Ansatz für mich für solche Aufgaben?

Comments

Wie gut, dass es nur eins gibt.

Answer 1

Aloha :)

Das kommt auf die Definition an. Im Komplexen muss einer der Vektoren komplex konjugiert werden. In der Physik wird in der Regel der linke Vektor komplex konjugiert, in der Mathematik der rechte Vektor. Daher bitte in deine Vorlesung schauen, wie ihr das vereinbart habt.

$$\langle x;y\rangle=\vec x^\ast\cdot\vec y=\left(\begin{array}{r}0\\3\\0\\-i\\0\\-2\\3+2i\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-4\\-2+3i\\0\\2i\\-7\\0\\1\end{array}\right)=3(-2+3i)-i2i+3+2i$$$$\phantom{\langle x;y\rangle}=-1+11i$$$$\langle x;y\rangle=\vec x\cdot\vec y^\ast=\left(\begin{array}{r}0\\3\\0\\i\\0\\-2\\3-2i\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-4\\-2-3i\\0\\-2i\\-7\\0\\1\end{array}\right)=3(-2-3i)-i2i+3-2i$$$$\phantom{\langle x;y\rangle}=-1-11i$$

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Hat mir sehr weitergeholfen!

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Gerne ;)

Ganz streng genommen, musst du den ersten Vektor noch als als Spaltenvektor schreiben, damit man die Matrix-Multiplikation besser erkennt. Aber das macht kaum jemand.