Orthogonalbasis und Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 10.2 \) (6 Punkte). Sei \( n \geq 2 \) und \( \langle-,-\rangle: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) das Standardskalarprodukt. Es definiert die Norm \( \|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle} \) und den Abstand zweier Vektoren \( d(x, y)=\|x-y\| . \) Sei \( W \subset \mathbb{R}^{n} \) ein \( (n-1) \) dimensionaler Unterraum und \( v \in \mathbb{R}^{n} \). Sei
\( H:=v+W=\{v+w \mid w \in W\} . \)
( \( H \) ist eine Hyperebene.) Der Abstand eines Vektors \( u \in \mathbb{R}^{n} \mathrm{zu} H \) ist definiert durch
\( d(u, H):=\min \{\|u-y\| \mid y \in H\} . \)
Ein Vektor \( x \in \mathbb{R}^{n} \) heißt orthogonal zu \( H \), in Zeichen \( x \perp H \), wenn \( \langle x, y-z\rangle=0 \), für alle \( y, z \in H . \)
(1) Sei \( \mathcal{B}=\left\{w_{1}, \ldots, w_{n-1}\right\} \) eine Basis von \( W \) und \( x \in \mathbb{R}^{n} \). Zeigen Sie,
\( x \perp H \Longleftrightarrow\left\langle x, w_{i}\right\rangle=0 \quad \text { für alle } i=1, \ldots, n-1 . \)
(2) Sei \( u \in \mathbb{R}^{n} \). Zeigen Sie, dass genau ein Vektor \( y_{0} \in H \) existiert, so dass \( \left(y_{0}-u\right) \perp H \). (Hinweis: Sei \( \mathcal{B} \) wie in \( (1) \). Machen Sie den Ansatz \( y=\sum \limits_{i=1}^{n-1} \lambda_{i} w_{i} \), für noch unbestimmte reelle Zahlen \( \lambda_{i} . \) Zeigen Sie dann, dass die Orthogonalitätsbedingung \( \left(y_{0}-\right. \)
\( u) \perp H \) auf ein lineares Gleichungssystem mit Unbestimmten \( \lambda_{i} \) führt, dass sich eindeutig lösen lässt.)
(3) Sei \( u \in \mathbb{R}^{n} \) und \( y_{0} \in H \operatorname{mit}\left(y_{0}-u\right) \perp H \). Zeigen Sie, \( d(u, H)=\left\|y_{0}-u\right\| . \)

Problem/Ansatz:

Das Thema liegt mir gar nicht, ich habe zwar die Definitionen, aber kann mir unter den Aufgaben kaum was vorstellen, ein paar kleine Ansätze zu den Beweisen wäre nett

Answer 1

(1)  Sei also (wie gegeben) H = v+W und x⊥H und w_i eines der Basiselemente.

==>  v+w_i ∈ H und weil auch 0∈W (weil W ein Unterraum ist) folgt v+0∈H.

==> (Def. von x⊥H)  < x, (v+w_i)-(v+0) > = 0

==>              < x, w_i > = 0.

Die andere Richtung ist etwas aufwändiger:

Sei nun umgekehrt  x∈R^n und    < x, wi > = 0  für alle i∈{1,...,n-1}.

Und seien y,z ∈H. Dann ist zu zeigen < x, y-z> = 0

y,z ∈H  ==>  Es gibt a,b ∈ W mit y=v+a und z=v+b

==>   y-z = (v+a) - (v+b) = a-b

Also < x, y-z> =  < x, a-b>    #

Aber a-b ∈ W, da W ein Unterraum, also Differenz zweier Elemente

von W auch in W. Also lässt sich a-b durch die Basis B darstellen :

a-b = \(   \sum \limits_{k=1}^{n-1} c_i w_i \)

==>   < x, a-b> =  < x, \(  \sum \limits_{k=1}^{n-1} c_i w_i \) >

Wegen der Linearität des Skalarproduktes

              = \(  \sum \limits_{k=1}^{n-1} c_i<x, w_i > \)

Da alle diese Skalarprodukte nach Vor. 0 sind, ist auch die

Summe = 0 , also   < x, a-b> = 0 und also (siehe #)  < x, y-z>=0. q.e.d.