Aufgabe:
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Aufgabe 10.1 (6 Punkte). Sei \( V \) ein komplexer Vektorraum der Dimension \( \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} V=n<\infty \) und \( \phi: V \times V \rightarrow \mathbb{C} \) eine hermitesche Form. Sei Sp : \( \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \) die Spurabbildung (siehe Def 2.7).
(1) Zeigen Sie, \( \operatorname{Sp}(z)=2 \operatorname{Re}(z)=z+\bar{z} \), für alle \( z \in \mathbb{C} \).
(2) Wir definieren \( \phi_{\mathbb{R}}: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) als Komposition
\( \phi_{\mathbb{R}}:=\operatorname{Sp} \circ \phi: V \times V \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} . \)
Zeigen Sie, dass wenn wir \( V \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum auffassen (via der Inklusion \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \) ), dann ist \( \phi_{\mathbb{R}} \) eine symmetrische bilinear Form.
(3) Zeigen Sie: Die hermitesche Form \( \phi \) ist positiv definit \( \Longleftrightarrow \) die symmetrische Form \( \phi_{\mathbb{R}} \) ist positiv definit.
(4) Sei \( \mathcal{B}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine Basis von \( V \) als \( \mathbb{C} \)-Vektorraum und sei \( M_{\mathcal{B}}(\phi)=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \). Zeigen Sie, dass
\( \mathcal{B}_{\mathbb{R}}:=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}, i v_{1}, \ldots, i v_{n}\right\} \)
eine Basis von \( V \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ist und bestimmen Sie die Matrix \( M_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}}}\left(\phi_{\mathbb{R}}\right) \) mithilfe des Realteils \( \operatorname{Re}\left(a_{i, j}\right) \) und des Imaginärteils \( \operatorname{Im}\left(a_{i, j}\right) \) der Einträge von \( M_{\mathcal{B}}(\phi) \).
Problem/Ansatz:
Das Thema liegt mir gar nicht, ich habe zwar die Definitionen, aber kann mir unter den Aufgaben kaum was vorstellen, ein paar kleine Ansätze zu den Beweisen wäre nett
