Beweis zu unitärem Vektorraum bzgl. der Nullabbildung

Question

Voraussetzung:
Wir betrachten für \( K=\mathbb{R} \) und \( K=\mathbb{C} \) jeweils den \( K \)-Vektorraum \( \mathbb{V}_{n}(K) \) zusammen mit dem Standardskalarprodukt bzw. der Hermiteschen Standardform \( \Phi \). Das heißt, für \( K=\mathbb{R} \) ist \( \Phi(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})= \) \( \boldsymbol{v}^{\top} \boldsymbol{w} \) und für \( K=\mathbb{C} \) ist \( \Phi(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=\boldsymbol{v}^{H} \boldsymbol{w} \). Sei nun \( \varphi: \mathbb{V}_{n}(K) \rightarrow \mathbb{V}_{n}(K) \) eine lineare Abbildung.

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für \( K=\mathbb{C} \) genau dann \( \Phi(\varphi(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{v}) \) für alle \( \boldsymbol{v} \in \mathbb{V}_{n}(K)\left(=\mathbb{V}_{n}(\mathbb{C})\right) \) verschwindet, wenn \( \varphi \) die Nullabbildung ist.
Hinweis: Machen Sie den Ansatz \( \boldsymbol{v}=\boldsymbol{x}+\lambda \boldsymbol{y} \) für beliebige \( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{V}_{n}(\mathbb{C}) \), und wählen Sie dann geschickte Werte für \( \lambda \). Zeigen sie darüber hinaus auch, dass dies für \( \mathbb R^n \) nicht der Fall ist.

Problem/Ansatz:

Durch die Linearität von \( \varphi \) folgt zunächst \( \varphi (\boldsymbol x + \lambda \boldsymbol y ) = \varphi ( \boldsymbol x) + \lambda \varphi ( \boldsymbol y) \)

\( \Rightarrow \Phi( \varphi(\boldsymbol x + \lambda \boldsymbol y) , \boldsymbol v ) = \Phi(\varphi (\boldsymbol x), \boldsymbol v ) + \lambda \Phi(\varphi(\boldsymbol y), \boldsymbol v)   = 0  \:\: \bigg| - \lambda \Phi(\varphi(\boldsymbol y), \boldsymbol v) \)

\( \Rightarrow \Phi( \varphi(\boldsymbol x + \lambda \boldsymbol y) , \boldsymbol v ) = - \lambda \Phi(\varphi(\boldsymbol y), \boldsymbol v) = 0 \)

\( \Rightarrow \left( \varphi(\boldsymbol x) \right) ^H \cdot \boldsymbol v = -\lambda \left( \varphi(\boldsymbol y) \right) ^H \cdot \boldsymbol v= 0 \)

Sei nun \( \lambda = -1 \:\text{und} \: \boldsymbol v \neq \boldsymbol 0 \).

\( \Rightarrow \underbrace{\left(\varphi(\boldsymbol x) \right)^H}_{0} \cdot \boldsymbol v =\underbrace{\left(\varphi(\boldsymbol y) \right)^H}_{0} \cdot \boldsymbol v= 0 \)

\( \Rightarrow \varphi \) ist die Nullabbildung.

Wahrscheinlich wäre es noch besser gewesen, \( \Phi \) als Summe der einzelnen Vektor-Komponenten zu schreiben und dann zu zeigen, dass für \( \boldsymbol v \neq \boldsymbol 0 \) dann jeder Faktor aus \( \varphi( \boldsymbol x) \) null sein muss, aber das nur am Rande…

Mein eigentliches Problem ist, dass ich nicht verstehe, wieso das nur im \( \mathbb C^n \) funktioniert, und nicht im \( \mathbb R^n \). Ich habe schließlich für \( \lambda \) bspw. letztenendes einen reellen Wert genommen und es scheint zu funktionieren (Vorausgesetzt mein Ansatz passt). Bitte erleuchtet mich hierbei :‘)

Vielen Dank,

wtf

Answer 1

Das Stichwort hier lautet "Polarisation": Im komplexen Fall ist eine sesquilineare Form \( B \colon V \times V \to \mathbf{C}  \) durch ihre Werte auf der Diagonalen bestimmt, das heisst durch \( B( x, x)  \). Gilt also für zwei sesquilineare Formen \( A, B \), dass \( A( x, x)  = B( x, x)  \) für alle \( x \in V \), so gilt auch \( A( x, y)  =  B( x, y) \) für alle \( ( x, y)  \in V \times V \). Für Vektorräume über \( \mathbf{R}  \)
gilt das im Allgemeinen nicht, und so hast du z.B. \( \langle R x, x\rangle = 0 \) für die \( 90  \)-Grad Rotation in \( \mathbf{R}^{2}  \), welche natürlich nicht die Nullabbildung ist.

Die letzten Implikationen in deinem Beweis machen nicht wirklich Sinn.