Begründen Sie, dass die lineare Abbildung h(−, −): V → V∗, v → (w → (v, w)) ein Isomorphismus ist.

Question

Sei K der Körper der rellen Zahlen/der Körper der komplexen Zahlen

und sei V ein n-dimensionaler euklidischer/unitärer K-Vektorraum mit reellem/hermiteschem
Skalarprodukt (−, −): V × V → K.

Begründen Sie, dass die lineare Abbildung h(−, −): V → V∗, v 7→ (w → (v, w)) ein Isomorphismus ist und zeigen Sie, dass die Adjungierte eines Endomorphismuses g ∈ End(V ) unter dem Isomorphismus h(−, −) mit der dualen Abbildung g∗ identifiziert wird.

Comments

Die Injektivität ist leicht: Wann sind zwei Elemente h(v,•) und h(v',•) gleich?

Die Surjektivität zu zeigen ist anspruchsvoller. Die Aussage ist auch als Rieszscher Darstellungssatz bekannt.

Schreib dir mal die Definitionen der adjungierten Abbildung von g und der dualen Abbildung hin. Dann siehst du, was du machen musst.