Matrixdarstellung der Bilinearform beta bzgl. Skalarprodukt

Question

ich verstehe leider nicht ganz wie ich die Matrixdarstellung B angeben kann.

Ich weiß, dass die Komponente a11 der Matrix B sich aus b(v1,v1) ergibt und a21 aus b(v2,v1) usw. , wobei b die Bilinearform ist.

Ich habe auch verstanden warum die Matrixdarstellung des Standardskalarproduktes bzgl. der kanonischen Basis eine Einheitsmatrix sein muss.

Hier bei diesem Beispiel bin ich mir aber leider nicht ganz sicher, was ich in die Bilinearform einsetzen muss.

Könnte mir jemand eventuell a11 der Matrix B berechnen? Ein Ergebnis ohne Rechenweg würde mir reichen, um die Aufgabe komplett zu verstehen.

Liebe Grüße

Answer 1

Ich weiß, dass die Komponente a11 der Matrix B sich aus b(v1,v1) ergibt und a21 aus b(v2,v1) usw. , wobei b die Bilinearform ist.

Dann ist doch alles klar, hier ist das b das ß und

ß(v1,v1) = ß(1*v1 + 0*v2+0*v3, 1*v1+0*v2+0*v3) = (1+0)(1+0)+(0+0)(0+0)+(0+1)(0+1) = 2

also a11=2

ß(v1,v2) = ß(1*v1 + 0*v2+0*v3, 0*v1+1*v2+0*v3) = (1+0)(0+1)+(0+0)(1+0)+(0+1)(0+0) = 1

etc.

Comments

Alles klar hat sich erledigt. Super danke dir!

Answer 2

Im Aufgabenteil c) soll ich nun mit Hilfe des Gram-Schmidt Verfahrens eine Orthonormalbasis bestimmen.

Mein Problem dabei ist , dass für eine Orthogonalbasis für die Matrix darstellung eine Diagonalmatrix sein muss.

Ich verstehe nicht ganz, wie dann eine Orthogonalbasis existieren soll. Denn b(vi,vj) ist ja im Endeffekt unabhängig von den Basisvektoren A=(v1,v2,v3) und die Darstellungsmatrix ist nie eine Diagonalmatrix .

Kann mir da jemand helfen?