Zeigen Sie, dass die von A induzierte Bilinearform ein Skalarprodukt ist.

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ und A= (a_i,j)_i,j ∈ ℝ^nxn definiert durch

a_i,j = { 2, falls i=j

a_i,j = {1, sonst.

Zeigen Sie, dass die von A induzierte Bilinearform ein Skalarprodukt ist.

Answer 1

Symmetrie ist wohl klar, weil A symmetrisch ist.

zu "positiv definit" betrachte: Es ist laut Def. A=M+E

wobei M die Matrix ist, bei der alle Einträge 1 sind und E

die Einheitsmatrix. Sei nun v∈ℝ^n etwa v=(v₁,v₂,...,v_n)^T.

Dann ist zu zeigen: Falls v≠0 ist, dann v^T*A*v> 0.

v^T*A*v =  v^T*(M+E)*v =  v^T*M*v +  v^T*E*v .    #

Nun ist aber v^T*M ein n-dimensionaler Zeilenvektor, der

an jeder Komponente die Summe ∑ aller v_i hat.

Der muss nun mit v multipliziert werden, das gibt die Zahl

(v₁² + v₁v₂ + ... + v₁v_n ) +(v₂v₁ + v₂² + ... + v₂v_n )+...+(v_nv₁ + v_nv₂ + ... + v_n² )

Dazu kommt nun noch v^T*E*v = v₁² + v₂² + ... +v_n² .

Wenn du die beiden etwas anders zusammenfasst, wird aus #

v₁² + 2v1v2  +v₂² +  ... + v_n^2 + 2v_nv₁ + v₁^2

und die binomische zeigt: Das ist eine Summe

von lauter Quadraten, von denen mindestens eines ( wegen v≠0)

nicht 0 ist, also positiv.   q.e.d.