Aufgabe:
Sei \( \mathbb{R}^{3} \) mit dem Euklid'schen Skalarprodukt versehen und sei \( w=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \). Bezeichne mit \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die Spiegelung an der Ebene \( V=w^{\perp} \).
Bestimme eine o.n. Basis \( v^{(1)}, v^{(2)} \) von \( V \) so, dass mit \( v^{(3)}=w \), durch \( [v]=\left[v^{(1)}, v^{(2)}, v^{(3)}\right] \) eine o.n. Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) gegeben ist.
Bestimme \( f_{|v| \rightarrow[}[v] \) und verifiziere, dass \( f \) eine Isometrie ist.
Bestimme \( f_{[e]-[e]} \) wobei \( [e]=\left[e^{(1)}, e^{(2)}, e^{(3)}\right] \) die Standardbasis bezeichnet.
Ansatz/Problem:
Bei der ersten Teilaufgabe habe ich den ersten Vektor so bestimmt, dass er senkrecht auf w steht und dann mit diesen beiden Vektoren das Kreuzprodukt gemacht, welches mich auf folgende Basis brachte:
O.n.Basis \( =\left(\begin{array}{ccc}1 / \sqrt{3} & -1 & 1 / \sqrt{3} \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 / \sqrt{3} & 1 & -1 / \sqrt{3}\end{array}\right) \)
Wie mache ich nun die anderen beiden Teilaufgaben?
