Drei Punkte ordnen, sodass sie die Eckpunkte eines Dreiecks im R³ bilden

Question

- Ordnen Sie drei Punkte \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \) im entgegengesetzten Uhrzeigersinn an, sodass sie die Eckpunkte eines Dreiecks im \( \mathbb{R}^{3} \) bilden.

- Fertigen Sie eine Skizze an, und zeichnen Sie Punkte \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \) ein, sodass die Punkte \( P_{1}, Q_{1} \), \( P_{2}, P_{3} \) bzw. \( P_{1}, P_{2}, Q_{2}, P_{3} \) bzw. \( P_{1}, P_{2}, P_{3}, Q_{3} \) jeweils die Eckpunkte eines Parallelogramms im \( \mathbb{R}^{3} \) darstellen.

- Geben Sie die Ortsvektoren der Punkte \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \) mithilfe der Ortsvektoren der Punkte \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \) an.

- Bestätigen Sie die Beziehung: \( \overrightarrow{O Q_{1}}+\overrightarrow{O Q_{2}}+\overrightarrow{O Q_{3}}=\overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{O P_{2}}+\overrightarrow{O P_{3}} \)

Comments

Wobei kommst du nicht weiter ? Dir drei ganz beliebige Punkte auszudenken? Dann Würfel doch einfach die Koordinaten.

Wenn du es allgemein machen willst nimm

P1 = [a, b, c]

P2 = [d, e, f]

P3 = [g, h, i]

Das sollte mit diesen Koordinaten auch ganz allgemein Funktionieren.

Answer 1

Ich würde versuchen relativ einfache Zahlen zu nehmen, damit du gut die
Übersicht behältst.
Deshalb nähme ich bei allen Punkten die 3. KOO mit Wert 0, dann
hast du es auch etwas einfacher mit dem Zeichnen.

Z.B.  P1(1/1/0)   P2(4/1/0)     P3(4/3/0)
Dann ist das Dreieck sogar rechtwinklig. Zeichne das am besten mal.
Dann ist z.B  Q1(1/-1/0)
Und der Ortsvektor von Q1 ist der Vektor vom Nullpunkt nach Q1.
Den bekommst du so
OQ1 =  OP1 + P3P2
Nun ist aber P3P2 kein Ortsvektor. Da machst du dann
draus     P3O+OP2
Und P3O ist das Negative vom Ortsvektor von P3.
Also hast du
OQ1=   OP1 + P3P2
        =   OP1 + P3O+OP2
        =     OP1 - OP3+OP2

Jetzt hast du die gesuchte Darstellung für den Ortsvektor von Q1.

Bei den anderen machst du es entsprechend und wenn du alles in die

Gleichung bei Teil 4 einsetzt wirst du sehen:  Es stimmt!