Integralrechnung. Zylindrischer Wasserspeicher. Höhe des Wasserspiegels nach t Minuten?

Question

Ein 3m hoher zylindrischer Wasserspeicher mit einem Durchmesser von 60cm ist bis oben hin mit Wasser gefüllt, als der Absperrhan undicht wird. Der Wasserspiegel sinkt daraufhin mit einer Geschwindigkeit

v(t)=(1/54)^2-10/3 (t in min,v in cm/min)

a) Leite eine Formel für die Höhe des Wasserspiegels nach t Minuten her.

b) Wie hoch ist der Wasserstand nach 1,5 Stunden ?

c) Wie viel Liter sind dabei ausgelaufen?

Comments

v(t)=(1/54)²-10/3 (t in min,v in cm/min)
wo kommt in deiner Formel t vor ?

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Auf der rechten Seite deiner Formel ist doch gar kein t ??????????

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Sorry mein Fehler : v(t)=(1/54)t-(10/3)

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v(t)=(1/54)t-(10/3).

Würdest du dann noch verraten, ob du vielleicht

v(t)=(1/54)t^2-(10/3) t

gemeint hast?

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Wie heißt du Funktion denn :
v ( t ) = (1/54) * t - (10/3)
oder
v(t) = (1/54) *t² - (10/3) * t

Oder noch anders ?

Answer 1

v ( t ) = (1/54) * t - 10/3

a.)
h ( t ) = 300 - v * t
h ( t ) = 300 - [ (1/54) * t - 10/3 ] * t
h ( t ) = 300 - (1/54) * t^2 + 10/3 * t

b.)
h ( 90 ) = 300 - (1/54) * (90)^2 + 10/3 * 90
h ( 90 ) = 300 - 150 + 30
h ( 90 ) = 180 cm

c.)
V = (60/2)^2 * π * 300
V = 848230 cm^3
V = 848.23 Liter

300 / 180 = 848.23 / x
x = 508.94 Liter noch vorhanden
Ausgelaufen : 848.23 - 508.94 = 339.29 Liter

Comments

v ( t ) = (1/54) * t - 10/3
Nehmen wir es einmal als Sinkgeschwindigkeit an.

∫ v ( t ) dt = 1/108 * t^2 - 10/3 * t

h ( t ) = 300 + ( 1/108 * t^2 - 10/3 * t )

b.)
h ( 90 ) = 300 + (1/108) * (90)² - 10/3 * 90
h ( 90 ) = 300 + 75 - 300
h ( 90 ) = 75 cm 

Der Wasserstand hat eine Höhe von 75 cm.

c.)
V = (60/2)² * π * 300
V = 848230 cm³
V = 848.23 Liter 

ausgelaufen : 300 - 75 = 225 cm

225 cm  / 300 cm = x / 848.23 liter

x = 636.17 Liter

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Vielen Dank, sie haben mir sehr geholfen.

Könnten sie mir noch einmal erläutern wie sie erst auf h ( t ) = 300 - (1/54) * t² + 10/3 * t 

und anschließend auf h ( t ) = 300 + ( 1/108 * t² - 10/3 * t )  kommen?

:D

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Vorbemerkung : hier im Forum wird meist das " du " verwendet.

Die erste Antwort mit
 h ( t ) = 300 - (1/54) * t² + 10/3 * t
war falsch.

Die zweite Antwort ist hoffentlich richtig.
Die Geschwindigkeitsfunktion
v ( t ) = (1/54) * t - 10/3
wird integriert  ( Stammfunktion bilden )
∫ v ( t ) dt = 1/108 * t² - 10/3 * t

Die Höhe ( als Strecke im Faß ) wäre das bestimmte
Integral zwischen 0 und t
[ 1/108 * t² - 10/3 * t ]₀^t
1/108 * t² - 10/3 * t - ( 1/108 * 0² - 10/3 * 0 )
1/108 * t² - 10/3 * t

Da die Geschwindigkeit negativ angesetzt wurde
( vergleiche die ganzen Diskussionen ) muß
es nun lauten 300 cm Anfangshöhe plus 1/108 * t² - 10/3 * t
h ( t ) = 300 + ( 1/108 * t² - 10/3 * t )

Ich hoffe die Erklärungen haben dir weitergeholfen.
Aber so waren nun einmal die Angaben in der Aufgabenstellung.

Answer 2

v(t) = 1/54·t^2 - 10/3·t

h(t) = 300 - 1/162·t^3 + 5/3·t^2

oder

v(t) = 1/54·t - 10/3

h(t) = 300 - 1/108·t^2 + 10/3·t

Comments

Ich meine meine Antwort wäre richtig. mfg Georg

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Ich denke deine Antwort ist verkehrt.

Bsp. 

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung 

v = a*t

s = v*t = a*t*t = a*t^2 ist verkehrt vielmehr gilt

s = 1/2*a*t^2

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In Bezug auf einen Fehler bei mir hast du mich überzeugt.

Aber : der Fragesteller gab als Korrektur für seinen 1. falschen
Term an :  v ( t ) = (1/54) * t - (10/3) während du von
v(t) = 1/54·t² - 10/3·t ausgegangen bist.
Deine Annahme könnte richtig sein da bei t = 0 => v auch
0 ist. Ich frage aber zuerst nocheinmal nach.

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Die Funktion mit v(0) = -10/3 mach ja überhaupt keinen Sinn. Dass wäre ein negatives Sinken d.h. ein Anstieg.

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Aber eigentlich können beide Funktionen nicht sinnvoll sein. Auch die erste gibt negative Funktionswerte.

Also FAIL !

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Die angegebene Gleichung    v(t)=(1/54)t-(10/3)   ist doch perfekt.

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Ja wenn man es wie folgt interpretiert.

h(t) = 300 + (t^2/108 - 10·t/3)

Ob dann v eine Sinkgeschwindigkeit ist ist aber fraglich.

Aber so wie oben macht h(t) auf jeden Fall Sinn.

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Ob dann v eine Sinkgeschwindigkeit ist ist aber fraglich.

Was ist daran fraglich, wenn v doch (3 Srunden lang) negativ ist ?

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Wenn man ein Sinken hat dann sollte die Sinkgeschwindigkeit meiner Meinung nach positiv sein.

Wenn du mit -5 km/h Rückwärts fährst, fährst du dann Rückwährts oder vorwärts.

Bsp. 

Über Nacht sanken die Temperaturen um 3 Grad.

was ist dann

Über Nacht sanken die Temperaturen um -3 Grad.

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Wenn meine Geschwindigkeit -5km/h beträgt, dann fahre ich entgegen einer willkürlich als positiv (das kann nach Norden oder nach Westen sein) festgelegten Richtung. 

Im Beispiel ist v = h' und da die Höhe h von unten nach oben gemessen wird, ist bei sinkendem Wasserspiegel v negativ. Würde die zurückgelegte Strecke des Wasserspiegels von oben (d.h. Anfangswert 0) nach unten gemessen (wie das bei manchen Aufgaben zum freen Fall geschieht), dann wäre v positiv.

Die Begriffe "Steiggeschwindigkeit / Sinkgeschwindigkeit" charakterisieren den ablaufenden Prozess aber machen keine Aussage über die Wahl des Koordinatensystems, in dem dieser Prozess beschrieben wird.