grenzwert bestimmen: ⟨ √(n^4+1)-n^2⟩

Question

hallo

ich muss bei dieser folge den grenzwert bestimmen, weiß aber überhaupt nicht, wie das geht.

⟨ √(n⁴+1) - n²⟩    (nur n^4+1 unter wurzel)  für n→∞

kann mir da vielleicht jemand helfen?

Comments

$$\text{Tipp: Es ist }\left(\sqrt{n^4+1}-n^2\right)\cdot\left(\sqrt{n^4+1}+n^2\right)=1\text{ für alle }n\in\mathbb N.$$

Answer 1

Erweitere mal den Term mit wurzel aus (n^4+1)  +   n^2
Dann gibt das       (wurzel aus (n^4+1)  -   n^2)*(wurzel aus (n^4+1)  +   n^2)  /   wurzel aus (n^4+1)  +   n^2

Zähler ausrechnen gibt      n^4 + 1 - n^4    = 1
Also kannst du den Term auch so schreiben

an   =    1/(wurzel aus (n^4+1)  +   n^2) und das hat offenbar den GW Null

Comments

erstmal natürlich danke für die antwort.. aber leider versteh ich das echt nicht :/

warum erweitert man das denn einfach?

dass n⁴+1-n⁴ =1 ist kann ich natürlich nachvollziehen, aber wie kommt man überhaupt darauf? sorry, so wurzelzeug ist wirklich nicht grad mein ding

wär echt nett, wenn du mir das noch etwas genauer erklären würdest.. aber wenn du keine lust hast ist das natürlich auch ok :D

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Das kann man sich sogar als Rezept merken:

Wenn man einen Grenzwert hat von der Form

unendlich - unendlich   (So war das ja: Die Wurzel aus dem Term mit x^4 gibt ungefähr x^2)

und wenn dann noch was mit ner Wurzel drin ist, kann man immer unter den Term eine 1

setzen, dann hast du einen Bruch.

Und den kann man mit der entsprechenden Summe erweitern

Oft geht dann durch die 3. binomi Fo die Wurzel weg und man sieht genauer was los ist.

Muss man testen, Immer geht das allerdings nicht so schön