Ist die Menge M linear unabhängig? M:=⟨2+x+3^2, x+x^2, -1+2x-x^2, 3-x^2⟩

Question

M:=⟨2+x+3^2, x+x^2, -1+2x-x^2, 3-x^2⟩

Die Menge ist Teilmenge des Unterraumes aller Polynome mit den Grad kleiner-gleich 2.

Ich habe es mit einem LGS versucht aber 3 Gleichungen mit 4 Variablen raus...schlecht..

Comments

Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?Danke

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Vollständige Fragestellung vermutlich im Kommentar oben.

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EDIT: @be1211

Bitte Schreibregeln (grüner Balken unten) beachten.

Beim verlinkten User kommen andere Teilaufgaben separat auch noch vor.

Answer 1

da braucht man nicht zu rechnen (wobei die Rechnung zum selben Ergebnis führt): Dein Unterraum hat die Dimension 3 (ich denke es ist als R-Vektorraum aufgefasst). Das bedeutet du kannst auch nur höchstens 3 linear unabhängige Vektoren finden. 4 sind einer zu viel.

Gruß,

Answer 2

Ich habe es mit einem LGS versucht aber 3 Gleichungen mit 4 Variablen raus...schlecht..

ne, prima   :=⟨2+x+3², x+x², -1+2x-x², 3-x²⟩

hast wohl sowas wie

                 b   -c      - d    = 0
       a      +b +2c             = 0
      11a          -c      +3d  = 0

Dann Stufenform  (3. ersetzen durch    - 11*2. + 3 . )

                 b       -c      - d    = 0
       a      +b    +2c               = 0 
             -11b    -23c    +3d  = 0     und 1. und 2. tauschen

            a      +b    +2c               = 0 
                      b       -c      - d    = 0    
                 -11b    -23c    +3d  = 0     dann 3. durch  3. + 11* 2. ersetzen

                 a      +b    +2c               = 0 
                          b       -c      - d    = 0     
                                 -12c    -8d  = 0  und die letzte Gleichung sagt dir:  
Für jedes d gibt es auch ein c, damit
die letzte Gleichung stimmt, etwa   d=3  gäbe  c= -2  
und mit den beiden gibt es
dann auch a und c. 
Also gibt es NICHT nur die Lösung a=b=c=d=0 ,

also lin. abhängig.