Wie kann man prüfen, ob je endlich viele Vektoren aus einer unendlichen Menge linear unabhängig sind?

Question

Aufgabe:

Kann jemand ein Bsp angeben zu diesem Satz (lineare Unabhängigkeit)?

Problem/Ansatz:

Satz:  ∅ ≠ M ⊆ V  heißt linear unabhängig, falls je endlich viele Vektoren aus M linear unabhängig sind

Problem: Wenn ich z.B.  M = ∞  gegeben habe und  V= ∞  , wie kann ich dann prüfen ob je endlich viele Vektoren aus M linear unabhängig sind? Ich hätte ja dann doch eine unendliche Anzahl an "je endlich viele Vektoren" aus M. Wie kann man das dann prüfen? Habe ich einen Denkfehler?

Weitere Beispiele z.B. für eine unendliche Menge M, die aber linear abhängige Elemente enthält wären sehr erwünscht :)

Ich würde mich über jede Antwort freuen!

Answer 1

Hallo

meist haben solche Vektoren ein einfaches Gesetz, zum Beispiel aus dem Raum der stetigen Funktionen fn(x)=sin(n*x)

Gruß lul

Comments

Das heißt ich wähle irgend eine beliebige Teilmenge T⊆ M mit T = {sinx, sin2x, sin3x} und erhalte für alle Koeffizienten α1,..,αi = 0 ⇒ M ist linear unabhängig?

Oder reicht dieses eine Set an Vektoren nicht um die lineare Unabhängigkeit von M zz.?

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hallo

nein das reicht nicht, es steht da ja "je" endlich viele. also n1,n2, ...nk sind lin unabhängig wenn alle nk verschieden sind, es geht auch induktiv, Lin unabhängig. für n1≠n2, dann Lin unabhängig bis nk daraus auch lin unabhängig für n(k+1)

lul

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Würde ein Induktionsbeweis, sagen wir für  f_n(x) = sin(nx)  dann so aussehen? :

IA: Seien n₁ ≠ n₂ mit n₁,n₂∈N? =>  mit α₁sin(n₁x)+α₂sin(n₂x)=0 => α1= α2 = 0 => lin. un. (Begründung fehlt aber intuitiv klar)

IA: es gilt lin. un. für alle Koeffizienten n_k:

Seien also nun n1 ≠ ... ≠nk =>  mit α1sin(n₁x)+ ... +α2sin(n_kx)=0 => α1= α2 = 0 => lin. un.

IS:Seien nun nk ≠ ... ≠n_(k+1)? =>  mit α1sin(nkx)+ ... +α2sinn_(k+1)x)=0 => α1= α2 = 0 => lin. un.

q.e.d.?

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ja, genauso. nd meist argumentiert man damit dass die summe der Fkt, nur endlich viele oder albzählbar viele  Nullstellen hat, es aber ja für all x gelten muss.

Gruß lul