k gegen unendlich. Ist die Fläche endlich?

Question

Hallo :)

 

Also ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.. Sie lautet:

Die Graphen von f und g schließen mit den senkrechten Geraden x = 2 und x = k (k>2) im 1. Quadranten eine Fläche ein, die sich für k -> unendlich is Unendliche erstreckt. Prüfen Sie, ob die Fläche dennoch einen endlichen Inhalt besitzt.

f(x) = (x⁴+16)/(4x²)

g(x) = 1/4x²

 

Wie mach ich das jetzt :/ Hab echt keine Ahnung.

Answer 1

prüfe ob das resultierende integral in den grenzen von 2 bis x einen grenzwert hat, indem du x gegen unendlich gehen lässt.

Answer 2

f ( x ) = ( x⁴+16 ) / ( 4 x² ) liegt oberhalb von
g ( x ) = 1/4x²

Ich bilde die Differenzfunktion f - g und bilde die Stammfunktion. Zuvor
wandle ich f durch Polynomdivision in eine einfach zu integrierende Funktion um
f ( x )  = 1/4 x^2 + 4 / x^2
f ( x) - g (x ) = 1/4 x^2 + 4 / x^2 - 1/4 x^2 = 4 / x^2

∫ 4 / x^2 = -4 * 1/x

lim k -> ∞   -4 * [ 1/x ]₂ ^k
-4 * ( 1/k - 1/2 )   l 1/k = 0
= 2

mfg Georg

Bei Fragen wieder melden