flächenberechnung, ob fläche unendlich oder endlich ist. wo liegt mein fehler?

Question

Ich schreibe morgen Mathe-klausur und habe folgende frage: gegeben sei die funktion f(x) = x²•e^-x. Nun soll man zeigen, ob die Fläche, die der Graph dieser Funktion mit der x-Achse im 1. Quadranten einschließt, unendlich oder endlich ist. Wenn ich das berechne kommt immer 0 heraus:

die funktion hat im ursprung eine nullstelle. also muss man von 0 bis ∞ integrieren. zunächst das integral von f(x) bilden:

∫x²•e^-x = (-x²-2x-2)•e^-x

und nun muss man für ∞ = variable b einsetzen und das integral muss man jetzt Limes b→∞ laufen lassen, oder? 

wenn ich den berechne:

lim b→∞ (-x²-2x-2)•e^-x = 0 ... 

aber was sagt mir nun der flächeninhalt = 0 .... wo liegt mein fehler ? brauche Hilfe, bitte!

 

Answer 1

f(x) = x^2 * e^x

F(x) = -e^{-x}·(x^2 + 2·x + 2)

F(∞) = lim x→∞ -e^{-x}·(x^2 + 2·x + 2) = 0

F(0) = -2

Die Fläche errechnet sich aus F(∞) - F(0) = 0 - (-2) = 2