Aloha :)
$$f(x)=\frac{\sin(\pi(x^2+1))}{2x^2+x+9}$$
Deine Idee für den Grenzwert \(x\to1\) ist gut, du kannst den Wert einfach einsetzen:$$\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)=\frac{\sin(2\pi)}{12}=\frac{0}{12}=0$$
Die Grenzwerte für \(x\to\pm\infty\) sind nicht ganz so einfach zu bestimmen, da die Sinus-Funktion alterniert, also ihr Vorzeichen gerne wechselt. Da die Sinus-Funktion aber immer Werte aus dem Intervall \([-1|1]\) liefert, können wir \(f(x)\) nach unten und nach oben abschätzen:$$-1\le\sin(\pi(x^2+1))\le+1\implies-\frac{1}{2x^2+x+9}\le\frac{\sin(\pi(x^2+1))}{2x^2+x+9}\le+\frac{1}{2x^2+x+9}$$$$\implies-\frac{1}{2x^2+x+9}\le f(x)\le+\frac{1}{2x^2+x+9}$$
Für \(x\to\pm\infty\) werden die Nenner der linken und rechten Grenze unendlich groß, sodass beide Grenzen gegen \(0\) konvergieren. Daher muss auch die Funktion \(f\) gegen \(0\) konvergieren:
$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\pm\frac{1}{2x^2+x+9}\right)=0\quad\implies\quad\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0$$
~plot~ sin(pi*(x^2+1))/(2x^2+x+9) ; [[-10|10|-0,12|0,12]] ~plot~
