Zeigen Sie, dass dann auch die Menge ⃗x + ⃗y , 2 ⃗y + ⃗z , ⃗x + ⃗z linear unabhängig ist

Question

Aufgabe:

ii) Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren ⃗x, ⃗y und ⃗z. Zeigen Sie, dass dann auch die Menge ⃗x + ⃗y , 2 ⃗y + ⃗z , ⃗x + ⃗z
linear unabhängig ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe eine Frag wegen folgender Aufgabe. Wie muss ich hier vorgehen, um das zu beweisen? Mir fehlt der Ansatz, um das überhaupt zu lösen. Um Lineare Unabhängig zu sein, muss die Menge ja 0 ergeben, oder nicht?

Answer 1

Wähle den Ansatz

$a \cdot (\vec{x}+\vec{y}) + b \cdot (2\vec{y}+\vec{z}) + c \cdot (\vec{x}+\vec{z}) = \vec{0}$

sortiere um und leite dann aus der lin. Unabhängigkeit von x,y,z

her, dass a=b=c=0 gelten muss. Etwa so:

$(a+c) \cdot \vec{x}+ (a+2b) \cdot \vec{y} + (b+ c) \cdot \vec{z} = \vec{0}$

Wegen der lin. Unabh. von $\vec{x} \vec{y} \vec{z}$ müssen die

Klammern alle 0 sein, also

a+c=0  und a+2b=0   und  b+c=0

was auf a=b=c=0 führt.

Comments

Ich habe jetzt umsortiert und habe als Ergebnis x( a+c) y(a+ 2b) Z(C+b) wie kann ich das jetzt herleiten? Sorry, aber ich Blick gerade echt nicht durch.

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Hab noch was ergänzt.

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Super, vielen Dank!