Matrizen. A = ((a,0)(0,a)). M eine beliebige 2x2-Matrix. Zeige AM = MA

Question

Da ich schwierigkeiten habe matrizenbeweise durchzuführen wollte ich ma fragen, ob mir jemand diese aufgaben erklären kann... Lg

(a) Es sei \( A=\left[\begin{array}{ll}{a} & {0} \\ {0} & {a}\end{array}\right] \) eine \( (2 \times 2)- \) Diagonalmatrix. Zeigen Sie, dass für jede beliebige \( (2 \times \)
$$ \text { 2) - Matrix } M=\left[\begin{array}{ll} {m_{1}} & {m_{2}} \\ {m_{3}} & {m_{4}} \end{array}\right] \text { gilt } $$
\(A M=M A \)
(b) Zeigen Sie: Zur Matrix \( A=\left[\begin{array}{ll}{2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right] \) gibt es eine \( (2 \times 2)- \) Matrix \( M \) mit
$$ M B \neq B M $$
(c) Eine quadratische \( (n \times n)- \) Matrix heißt symmetrisch, wenn für alle Einträge \( a_{i j}=a_{j i} \) gilt.
d. h. wenn sie symmetrisch zur Diagonalen ist. Es seien nun \( A \) und \( B \) zwei beliebige symmetrische Matrizen. Gilt dann immer

\( A X=X A ? \) 

Answer 1

Hi,
zu (a)
die Matrix \( A \) ist \( A=aE \) wobei \( E \) die Einheitsmatrix ist. Somit gilt \( AM=MA \)
zu (b)
Was soll die Matrix \( B \) sein? Falls damit die Matrix \( A \) gemeint ist, wähle \(  M=\begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) und rechne einfach \( AM \) und    \(  MA \) aus.
Zu (c)
Was soll den \( X \) sein? Falls \( X=B \) sein soll, nehme die Matrix \( M \) von oben und ersetzte die \( 3 \) durch eine \(2 \). Dann siehst Du das \( AB \ne BA \) ist, obwohl beide Matrizen symmetrisch sind.

Answer 2

a) Rechne einfach ((a,0)(0,a)) * ((x,y)(z,w)) aus.

AM=  ((a,0)(0,a)) * ((x,y)(z,w)) = ((ax, ay)(az,aw))

MA= ((x,y)(z,w)) * ((a,0)(0,a))= ((ax, ay)(az,aw))

qed.

b) und c) muss man erst noch interpretieren. Vgl. Antwort von ullim.

Comments

ich habe eine Frage zu Aufgabenteil c). Also B soll auf jeden Fall X sein...wenn ich jetzt für A= ((1,2), (2,4))  schriebe, wie oben vorgeschlagen...was ist dann X? und was bedeutet Symmetrisch in diesem Zusammenhang? Für mich ist das alles etwas Neuland (entschuldigung,wenn das dumme Fragen sind...aber ich versuche Schritt für Schritt zu verstehen).

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Ich denke, dass gemeint ist, dass du

((a,b),(b,c)) * ((u,v),(v,w)) und

((u,v),(v,w))*((a,b),(b,c)) 

ausrechnen und dann vergleichen sollst. Für die fehlerhafte Fragestellung kannst du vermutlich nichts.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28a%2Cb%29%2C%28b%2Cc%29%29+*+%28%28u%2Cv%29%2C%28v%2Cw%29%29+

Die Resultate sind nicht gleich. Das Kommutativgesetz gilt für die Multiplikation von symmetrischen Matrizen nicht.

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Kann einer bei Aufgabenteil b helfen?