In der Menge M der (2x2)-Matrizen ist AB=BA unter Vorraussetzung, dass B Einheitsmatrix und A beliebig ist.

Question

$$\text{Vorab: Ich habe hier }\mathbb{I}_2 \text{ als das Symbol für die 2er-Einheitsmatrix verwendet, da}\\\text{bei mir mathbbm, etc. nicht funktioniert hat.}\\\\\text{Aufgabe:}\\ \text{Wir wollen hier zeigen, dass die Menge M der (2 x 2)-Matrizen A, welche AB = BA }\\\text{für alle (2 x 2)-Matrizen B erfüllen genau durch die Menge } \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 = \{λ \cdot \mathbb{I}_2 | λ \in \mathbb{R}\} \text{ gegeben ist. }\\\text{Dabei gehen wir wie folgt vor:} \\\text{i) Zunächst behandeln wir die Inklusion } \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 \text{. Rechnen Sie nach, dass eine Matrix}\\ A \in \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 \text{ wirklich die Gleichung AB=BA für alle (2 x 2)-Matrizen B erfüllt.}\\\text{ii) Nun müssen wir noch die Inklusion } M \in \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 \text{ nachweisen. Berechnen Sie }\\\text{hierfür für eine Matrix } A \in M \text{ die Matrixprodukte}\\A \cdot \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} \cdot A, A \cdot \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}  \text{ und } \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix} \cdot A \\\text{ und nutzen Sie dann aus, dass A aus M stammt}.$$

$$\text{Reicht es bei der i), wenn ich folgendes sage:}\\ \text{Sei } x,y,z,w \in \mathbb{R}\\ A = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \text{, } B = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\\A \cdot B:\\\begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix}\\B \cdot A:\\\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \\\text{Und dann sowas sage, wie: Da AB = BA wurde die Inklusion gezeigt?}$$

$$\text{Bei der ii) steh ich total auf dem Schlauch.} \\\text{A kann ja eigentlich jede Form annehmen und z.B. bei } \\A \cdot \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} \text{ kommt immer } \begin{pmatrix}0 & y\\0 & w\end{pmatrix} \text{ raus und bei} \\\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} \cdot A \text{ kommt immer } \begin{pmatrix}x & y\\0 & 0\end{pmatrix} \text{ raus.} \\\text{Ich verstehe irgendwie nicht so ganz, was ich zeigen soll. Könnte mir jemand dabei helfen?}$$

Answer 1

\(  \text{Rechnen Sie nach, dass eine Matrix}    A \in \mathbb{R}\mathbb{I}_2 \text{ wirklich die Gleichung AB=BA für alle (2 x 2)-Matrizen B erfüllt.}\)

Wenn \(    A \in \mathbb{R}\mathbb{I}_2 \)  gilt, dann sieht A doch so aus:

 \(   A = \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix}  \) mit einem a∈ℝ.

Und für das B hast du die Form \(  B = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \)

mit x,y,z,w ∈ℝ.

Dann ist deine Rechnung im Prinzip OK:

\(  B \cdot A=\begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}ax & ay\\az & aw\end{pmatrix}  \)

und bei \(  A \cdot B \)  entsprechend, also gilt \(  A \cdot B = B \cdot A \).

Damit ist die Inklusion \(    \mathbb{R}\mathbb{I}_2 \subset M \) gezeigt .

Bei der Inklusion \(  M \subset   \mathbb{R}\mathbb{I}_2 \) musst du zeigen:

Wenn eine Matrix A mit allen (2x2)-Matrizen B kommutiert,

dann ist sie von der Form \(  A = \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix}  \).

Comments

Alles klar, verstanden. Vielen Dank! :)