Verteilungsfunktion stetige Zufallsgröße X

Question

Aufgabe:

1. Untersuchen Sie, ob \( F(x)=\arctan (x) \) als Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße \( X \) angesehen werden kann bzw. ob \( \mathrm{F} \) mit einem geeigneten Stauchfaktor zu einer Verteilungsfunktion gemacht werden kann.

Hinweise: \( f(x)=F^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \)

Untersuchen Sie also, ob \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} F=1, \quad \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} F=0 \)

 \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1 \)

Problem/Ansatz:

Hiii

Ich brauche dringend Hilfe, wir hatten bis jetzt Normalverteilungen gemacht, nur mein Lehrer kam heute mit so einer Aufgabe mit dem ich gar nicht zurechtkam.....

Es würde mich echt sehr freuen, wenn jemand mir das erklären könnte, also ganz genau so dass ich das auch verstehe... :( weiß gar nicht wie man so bei so einer Aufgabe vorgehen und irgendwie fehlt mir auch das Verständnis

Danke schonmal im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Weil \(\,\arctan(x)<0\,\) für \(\,x<0\,\) gilt, aber eine Verteilungsfunktion \(F(x)\) für kein \(x\) negativ sein darf, kommt nur der Definitionsbereich \(x\ge0\) in Betracht:$$F(x)=k\cdot\arctan(x)\quad;\quad x\ge0\;;\;k\in\mathbb R$$Unabhängig von der Wahl des Skalierungsfaktors \(k\) ist die Forderung \(F(0)\) bereits erfüllt.

Zur Erfüllung der Forderung \(F(\infty)=1\) müssen wir uns kurz den Grenzwert der Arcustangens-Funktion für \(x\to\infty\) überlegen. Die Tangens-Funktion$$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos x}\implies\lim\limits_{x\nearrow\frac\pi2}\tan(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow0}\frac{\overbrace{\sin\left(\frac\pi2-\varepsilon\right)}^{\searrow1}}{\underbrace{\cos\left(\frac\pi2-\varepsilon\right)}_{\searrow0}}=+\infty$$konvergiert für \((x\nearrow\frac\pi2)\) stetig von unten her gegen \((+\infty)\).Das heißt umgekehrt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(x)=\frac\pi2$$Der Skalierungsfaktor \(k\) ist für alle \(x>0\) gleich, auch für unendlich große \(x\):$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{F(x)}{\arctan(x)}=\frac{1}{\frac\pi2}=\frac2\pi$$

Damit haben wir eine mögliche Verteilungsfunktion gefunden $$F(x)=\frac2\pi\cdot\arctan(x)\quad;\quad x\ge0$$

Das Integral über die Dichtefunktion \(F'(x)\) ist übrigens auch auf \(1\) normiert, denn$$\int\limits_0^\infty F'(x)\,dx=F(\infty)-F(0)=1-0=1$$

Answer 2

Könntest du die Funktion F(x) = arctan(x) skizzieren? Wenn nicht, mach dich mal über die Funktion schlau.

Dann könntest du sicher die Funktion auch ohne weitere Rechnung beurteilen.