Stetige Zufallsgröße - Parameter a ohne Integrationsgrenzen bestimmen

Question

Stetige Zufallsgröße.

Hallo. Ich habe hier folgende Dichtefunktion f(x)= - \( \frac{1}{a^2 } \)x² + \( \frac{1}{4} \)

Zu ermitteln ist der Parameter a

Grundsätzlich würde ich mir eine Eigenschaft der Dichtefunktion zu nutze machen:  \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) dx= 1

=> \( \int\limits_{a}^{b} \) - \( \frac{1}{a^2 } \)x²  + \( \frac{1}{4} \) dx = 1

und nach a umstellen. Da ich aber keine Integrationsgrenzen gegeben habe weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, mir fehlt der Ansatz. Kann mir da jemand bitte weiterhelfen?

LG

Comments

oder benötige ich überhaupt keine Integrationsgrenze und betrachte das beschriebene Vorgehen einfach als Unbestimmtes Integral und nicht als bestimmtes integral?

Answer 1

Es muss f(x) ≥ 0 gelten. Deswegen könnten die Grenzen \(-\frac a2\) und \(\frac a2\) sein.

Comments

Verstehe ich nicht ganz.. könnten Sie das bitte genauer erklären? --

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f(x) ≥ 0 gilt für eine Dichtefunktion per Definition, d.h. es muss \(\frac{x^2}{a^2}\le\frac14\) sein, was für \(-\frac a2\le x\le\frac a2\) der Fall ist (\(a\) als positiv angenommen). Außerdem muss, wie du bereits erwähnt hast,$$\large\quad\boxed{\int_{-\frac a2}^{\frac a2}\left(\frac14-\frac{x^2}{a^2}\right)\mathrm dx=1}$$gelten. Damit hast du eine Gleichung für \(a\), deren Lösung nach meinen Berechnungen \(a=6\) ist.$$\textsf{Probe: }\int_{-3}^3\left(\frac14-\frac{x^2}{36}\right)\mathrm dx=1\textsf{, Bingo!}$$

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Super, vielen Dank, habs nun verstanden!

LG

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Eine weitere Frage:

wenn ich nun weiter rechne und die Verteilungsfunktion bestimme, ist dies dann so richtig?

F(x) = -\( \frac{x^3 }{108} \) + \( \frac{x}{4} \) + \( \frac{1}{2} \)

ist diese Verteilungsfunktion richtig?

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So habe ich das auch berechnet.

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Alles klar danke