Aloha :)
Der Anstieg von \(f(x)\) ist eine Gerade mit Startpunkt \((-t|0)\) und Endpunkt \((-\frac{1}{2}t|w)\). Würde man diese Gerade bis zur \(y\)-Achse verlängern, würde sie diese in der Höhe \(2w\) schneiden. Daher ist die Geradengleichung:$$f(x)=\frac{w-0}{-\frac{1}{2}t-(-t)}x+2w=\frac{2w}{t}\,x+2w\quad;\quad x\in\left[-t\bigg|-\frac{1}{2}t\right]$$
Im Bereich \(x\in\left[-\frac{1}{2}t\bigg|\frac{1}{2}t\right]\) ist \(f(x)=w\).
Im Bereich \(x\in\left[\frac{1}{2}t\bigg|t\right]\) fällt die Dichtefunktion linear ab, wie sie zuvor linear angestiegen ist:$$f(x)=-\frac{2w}{t}\,x+2w\quad;\quad x\in\left[\frac{1}{2}t\bigg|t\right]$$
Die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion beträge \(\frac{3}{2}tw\). Der Kehrwert \(\frac{2}{3tw}\) dient daher als Normierungsfaktor, sodass wir die Dichtefunktion wie folgt zusammenfassen können
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}0 & \text{falls} & x<-t\\\frac{4}{3t}\left(1+\frac{x}{t}\right)&\text{falls} & -t\le x<-\frac{t}{2}\\[0.5ex]\frac{2}{3t}&\text{falls} &-\frac{t}{2}\le x\le\frac{t}{2}\\[0.5ex]\frac{4}{3t}\left(1-\frac{x}{t}\right)&\text{falls}&\phantom{-}\frac{t}{2}<x\le t\\0 & \text{falls} & x>t\end{array}\right.$$
~plot~ 4/6*(1+x/2)*(-2<=x)*(x<=-1) ; 2/6*(-1<=x)*(x<=1) ; 4/6*(1-x/2)*(1<=x)*(x<=2) ; [[-2,5|2,5|0|0,4]] ~plot~
Damit kannst du nun weiterrechnen:
1) Die Verteilungsfunktion ist nun:\(\quad F(x)=\int\limits_{-t}^x f(y)dy\quad;\quad x\in[-t|t]\)
2) Der Parameter \(w\) ist beliebig, aber positiv, weil er durch die Normierung wegfällt.
3) Der Erwartungswert ist:\(\quad\mu=\int\limits_{-t}^t xf(x)dx\)
4) Die Varianz ist:\(\quad V=\left(\int\limits_{-t}^t x^2f(x)dx\right)-\mu^2\)
Die Freude am Ausrechnen möchte ich dir aber nicht nehmen ;)
