Stetige Zufallsgröße mit 2 Unbekannten

Question

Aufgabe:

Stetige Zufallsgrößen:

Gegeben: Dichtefunktion        0 für x < -a

                                      f(x)=  \( \frac{zx}{3a} \) + \( \frac{2z}{3} \) für  -a ≤ x ≥ +a

                                                0 für x > a

Hinweis: a ist eine positive Konstante

Problem/Ansatz:

Zu ermitteln ist die Verteilungsfunktion und der Erwartungswert.

Da wir hier 2 Unbekannte haben, nehme ich mal an dass wir auch 2 Randbedingungen haben. Das "z" verwirrt mich etwas.

Mein Ansatz:

Ich würde erst einmal den Parameter "a" bestimmen mittels Definition der DF:  \( \int\limits_{-a}^{a} \) f(x) dx = 1

\( \int\limits_{-a}^{a} \) (\( \frac{zx}{3a} \) + \( \frac{2z}{3} \)) dx  = 1

vorher würde ich das "z" ausklammern und dann integrieren:  z * \( \int\limits_{-a}^{a} \) (\( \frac{x}{3a} \) + \( \frac{2}{3} \)) dx = 1

ich erhalte: a= \( \frac{3z}{4} \)

"a" eingesetzt in die Dichtefunktion ergibt: f(x) = \( \frac{2}{3} \) + \( \frac{2z}{3} \)

Weiter komme ich nicht, das "z" ist auch nicht nicht ganz eliminiert. Kann mir jemand bitte Feedback zu meinem Vorgehen geben?

LG

Comments

Was ist denn über die Grenzen von \(z\) bekannt? Die Verteilung bekommst du ja durch Integration über die Dichtefunktion:$$F(x,z)=\int\limits_{-a}^adx\int\limits_{?}^{?}dz f(x,z)$$Oder ist \(z\) einfach nur ein weiterer Parameter, der beliebig, aber dann fest gewählt wird?

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Zu "z" ist nichts weiteres bekannt. Nur ein Hinweis zu Parameter "a", ich denke mal einfach dass "z" ein weiterer Parameter ist .Der Prof hat auch keine Bemerkungen dazu gemacht..

Answer 1

Aloha :)

Manchmal hilft es bei solch scheinbar unklaren Aufgabenstellungen einfach mal anzufangen. Der ominöse Parameter \(z\) ist nämlich durch die Normierung eindeutig bestimmt. Die Dichtefunktion \(f(x)\) ist nur für \(x\in[-a;a]\) von Null verschieden:$$f(x)=\frac{zx}{3a}+\frac{2z}{3}=\frac{z}{3a}\left(x+2a\right)\quad;\quad x\in[-a;a]$$Als Wahrschinlichkeitsdichte muss \(f(x)\) normiert sein:

$$1\stackrel!=\int\limits_{-a}^af(x)dx=\frac{z}{3a}\left[\frac{x^2}{2}+2ax\right]_{-a}^a=\frac{z}{3a}\cdot 4a^2=\frac{4a}{3}z\implies z=\frac{3}{4a}$$Die normierte Dichtefunktion lautet also:$$f(x)=\frac{x+2a}{4a^2}\quad;\quad x\in[-a;a]$$

Die Verteilungsfunktion ist daher:

$$F(x)=\int\limits_{-a}^xf(\tilde x)\,d\tilde x=\frac{1}{4a^2}\int\limits_{-a}^x(\tilde x+2a)\,d\tilde x=\frac{1}{4a^2}\left[\frac{\tilde x^2}{2}+2a\tilde x\right]_{-a}^x$$$$\phantom{F(x)}=\frac{1}{4a^2}\left[\left(\frac{x^2}{2}+2ax\right)-\left(\frac{a^2}{2}-2a^2\right)\right]=\frac{1}{4a^2}\left(\frac{x^2-a^2}{2}+2a(x+a)\right)$$$$\phantom{F(x)}=\frac{1}{8a^2}\left((x-a)(x+a)+4a(x+a)\right)=\frac{(x+a)(x+3a)}{8a^2}$$

Der Erwartungswert ist:

$$\mu=\int\limits_{-a}^ax\cdot f(x)dx=\frac{1}{4a^2}\int\limits_{-a}^a(x^2+2ax)dx=\frac{1}{2a^2}\int\limits_{0}^a x^2dx=\frac{1}{2a^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a}{6}$$

Comments

Ich danke für die ausführliche Antwort. Ich glaube Sie haben sich vertan ganz zu Beginn wo Sie z und a ausklammern.

Das ist nicht \( \frac{2z}{a} \) sondern \( \frac{2z}{3} \) . Somit ist doch schon von Beginn an ein Folgefehler vorhanden?

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Mist, da habe ich doch glatt ein \(a\) gelesen, obwohl eine \(3\) da steht.

Ich habe meine Rechnung korrigiert ;)

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Ist

\(\phantom{F(x)}=\frac{1}{8a^2}\left((x-a)(x+a)+4a(x+a)\right)=\frac{(x+a)(x+3a)}{8a^2}\)

das gleiche wie

= \( \frac{x^2}{8a^2} \) + \( \frac{x}{2a} \) - \( \frac{1}{8a} \) + \( \frac{1}{2} \)

Sie hatten Sie es etwas ausführlicher gemacht aber müsste eigentlich die gleiche Verteilungsfunktion sein, oder?

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Nein, das ist leider nicht das gleiche:

$$\frac{(x+a)(x+3a)}{8a^2}=\frac{x^2}{8a^2}+\frac{3x}{8a^2}+\frac{3x}{8a}+\frac{9}{8a}$$

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Hm, oke danke. Ich schaue mal nochmal drüber nach, wo ich den Fehler habe.

Grüße :)