Stetige Zufallsgröße - durchschnittlicher Verkauf und Überschreitung eines Wertes

Question

Text erkannt:

In einer Druckerei werden jährlich 25000 Bücher gleichen Titels gedruckt. Die Anzahl der verkauften cher pro Jahr [in Tsd.] wird als stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
$$ f(x)=\left\{\begin{aligned} a * x^{2} & \text { für } 0 \leq x \leq 25 \\ 0 & \text { für } x>25 \end{aligned}\right. $$

Hallo. Ich habe hier eine Aufgabe zu stetigen Zufallsgrößen.

Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilaufgaben:

Ich musste unter anderem den Parameter "a" und die Standardabweichung und damit einhergehend auch gleich den Erwartungswert ermitteln:

habe erhalten: a= \( \frac{3}{15625} \)

μ= \( \frac{75}{4} \) bzw. 18,75  (Erwartungswert)

σ= 4,84 (Standardabweichung)

Sind die Werte richtig?

Normalverteilung.

Aufgabe ist nun:

1. Wie viele Bücher werden durchschnittlich pro Jahr verkauft?

2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mehr als 20.000 Bücher pro Jahr verkauft?

Habe hier leider keinen Ansatz, kann mir da jemand bitte weiterhelfen?

Danke für Eure Mühe.

LG

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Eine andere Aufgabe wäre:

Wie viele Bücher müssten pro Jahr gedruckt werden, um mit 75% Wahrscheinlichkeit ausreichend Bücher auf Vorrat zu haben?

Mein Ansatz:

Ich würde das Integral der Dichtefunktion f(x) mit 0,75 gleichsetzen --> \( \int\limits_{x}^{25} \) f(x) dx = 0,75. Für die untere Intervallgrenze ist das x (Anzahl der benötigten Bücher) der Platzhalter.

Nun würde ich ganz normal integrieren und bei der Subtraktion der Integrationsgrenzen F(25) -F(X)=0,75 nach x umstellen, sodass ich erhalte:

x=-22,71 => 22.710 Bücher pro Jahr

habe aber ein Minuszeichen. Macht das was aus oder? Die Zahl ist denke ich richtig, aber bei 3. Wurzel von -11.715,75 erhalte ich halt -22,71.

Ist das Vorgehen so richtig?

Danke

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Hallo. Meine Frage ist immer noch offen. Können Sie bitte nachrechnen, ob die Aufgabe in meinem letzten Kommentar zu dieser Frage richtig ist:

Wie viele Bücher müssten pro Jahr gedruckt werden, um mit 75%iger Wahrscheinlichkeit ausreichend Bücher für alle Kunden auf Vorrat zu haben?

Mein Ansatz:

Ich hatte gerechnet 22.710 Bücher, jedoch glaube ich nun mich vertan zu haben. Ich habs nochmal gerechnet und komme auf einen wert

x= 7,906 → also 7.906 Bücher ca. stimmt das?..LG

Answer 1

Aloha :)

Deine Werte für \(a=\frac{3}{25^3}\), den Erwartungswert \(\mu=\frac{75}{4}\) und die Standardabweichung \(\sigma=\sqrt{\frac{375}{16}}\approx4,8412\) kann ich bestätigen.

1) Hier brauchst du nichts mehr zu rechnen, die durchschnittliche Anzahl verkaufter Bücher ist gleich dem Erwarugnswert, also \(18\,750\) Bücher.

2) Hier brauchst du nur über die Dichtefunktion zu integrieren:

$$p(X\ge20)=\int\limits_{20}^{25}f(x)\,dx=\frac{3}{25^3}\int\limits_{20}^{25}x^2\,dx=\frac{3}{25^3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{20}^{25}=\frac{3}{25^3}\left(\frac{25^3}{3}-\frac{20^3}{3}\right)$$$$\phantom{p(X\ge20)}=1-\left(\frac{20}{25}\right)^3=1-\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{61}{125}=0,488=48,8\%$$Die Wahrscheinlichkeit mehr als \(20\,000\) Bücher zu verkaufen liegt also bei \(48,8\%\).

Comments

In der Tat, macht Sinn. Danke für die Mühe!

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ich hatte gestern nochmal etwas kommentiert, könnten Sie bitte Rückmeldung dazu geben? LG

Answer 2

Deine berechneten Werte sind alle richtig.

Deine Zufallsgröße X ist die Anzahl der verkauften Bücher in Tausend.

Was wäre jetzt der durchschnittliche Wert? Ist das nicht genau dein berechneter Erwartungswert?

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In der Tat, macht Sinn.