Exponentielles Wachstum

Question

a) Ein Anfangsbestand von 20 verdreifacht sich alle 7 Tage.

Wie groß ist der Bestand nach 5 Tagen

No(t)=No*x^t

geg.:No=20

x=3

  t=5 oder 7 Tage, was muss ich hier schreiben?

ges: Bestand nach 5 Tagen

Lös:

N(5)=20*3^5/7

N(5)=43,368

Meine andere Frage ist ...die Formel lautet ja

No(t)=No*x^t

Ich bin mir sicher, dass es nicht x heißt? wie heißßt es dann und habe ich es richtig augeshcrieben?

Answer 1

Du verwendest die Formel:

N(t)=N₀*x^t 

(N₀(t) scheint mir keien gute Bezeichnung zu sein.)

Dabei ist N₀ der Anfangsbestand, x die Basis und t die Zeit.

Meistens wählt man für die Basis einen anderen Buchstaben, z.B. a oder b, aber darauf kommt es wirklich nicht an.

Nehmen wir also x.

"Ein Anfangsbestand von 20 verdreifacht sich alle 7 Tage" bedeutet:

N₀ = 30 und

N(7) = N₀*x⁷ = 3*N₀.
Diese Gleichung kann man nach x auflösen, indem man duch N₀ teilt:

x⁷ = 3

und dann die 7. Wurzel zieht:

x = 7.Wurzel aus 3.

Nun kannst du 5 einsetzen.

N(5)=20*3⁵/7 sit unklar aufgeschrieben, aber offenbsichtlich hast du richtig gerechnet:

N(5)=20*3^{^{5/7}.} Dein Ergebnis ist in der Nähe des richtigen Werts (ich hab andere Nachkommastellen raus, aber das wird ein Rundungsproblem sein. Hast du die 7.Wurzel aus 3 gerundet oder mit dem exakten Wert weitergerechnet?

Mehr zum exponentiellen Wachstum in der Mathebaustelle.

Comments

Danke für deine Antwort . Super.

In der Schule hatten wir diesen Schritt aber nicht gemacht:

"Ein Anfangsbestand von 20 verdreifacht sich alle 7 Tage" bedeutet:

N₀ = 30 und 

N(7) = N₀*x⁷ = 3*N₀.
Diese Gleichung kann man nach x auflösen, indem man duch N₀ teilt:

x⁷ = 3

und dann die 7. Wurzel zieht:

x = 7.Wurzel aus 3.


Wir haben direkt das hier gerechnet:
N(5)=20*3 hoch5/7



Aber Trotzdem habe ich dein Rechenweg verstanden . Dankeschön!

Answer 2

f ( 0 ) = 20
f ( t ) =  f ( 0 ) * x^t
f ( 7 ) = 20 * x^7 = 60

20 * x^7 = 60
x^7 = 3
x = 3^{1/7}
x = 1.17

f ( t ) = 20 * 1.17^{7} = 20 * 3.00 = 60

f ( 5 ) = 20 * 1.17^5 = 43.85

So müßte es stimmen.

Comments

danke

Wie kommst du auf 60?

`f ( 7 ) = 20 * x⁷ = 60

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In der Aufgabenstellung hieß es
Ein Anfangsbestand von 20 verdreifacht sich alle 7 Tage. 

Die verdreifachung des Anfangsbestand von 20 wäre 60.
f ( 7 ) = 60