Vektoren in geometrischer Anwendung

Question

ich habe hier eine Aufgaben, bei der ich leider nicht weiter komme und dementsprechend auf die Hilfe der Community angewiesen bin, kommen wir zur Aufgabe:

Bei dieser Aufgabe bin ich vollkommen überfragt. g1= Gerade durch die Punkte P1(1,0,-2) und P2(2,-3,1). Zudem ist Punkt P gegeben (-1/1/2).

a) Normalen-, und Parameterform der Ebene e1 durch P, die g1 enthält.

b )Normalen-, und Parameterform der Ebene e2 durch P, die auf g1 senkrecht steht (da fällt mir direkt das Skalarprodukt=0 ein)

c) Die Gleichung der Schnittgeraden g2 der Ebene e1 und e2

d) Gleichung der geraden g3, durch den Schnittpunkt von g1 und g2 und senkrecht zu g1 und g2

Comments

a)

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreipunkteform

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Ich verstehe aber nicht warum man Punkt P dann nicht einfach Punkt P3 nennt und zudem verstehe ich nicht wie ich g1 einbauen soll?

Wäre super wenn du mir helfen könntest.

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Man kann doch die Punkte nennen wie man will. Wenn kein x in der Gleichung ist, geben viele schon auf, weil das ungewohnt ist.

Wenn die Punkte P1 und P2 auf der g1 liegen, und g1 liegt auf der Ebene1, dann sind P1 und P2 Punkte der Ebene1, oder?

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Wäre für b) x=(1,0,-2)+r(1,-3,3)+s(-2,1,4) richtig?

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japp korrekt

Answer 1

Analytische Geometrie: Ebenen

Gerade g1 durch die Punkte P1 = [1, 0, -2] und P2 = [2, -3, 1].

Punkt P gegeben P = [-1, 1, 2].

a) Normalen-, und Parameterform der Ebene E1 durch P, die g1 enthält.

X = [1, 0, -2] + r·([2, -3, 1] - [1, 0, -2]) + s·([-1, 1, 2] - [1, 0, -2])

X = [1, 0, -2] + r·[1, -3, 3] + s·[-2, 1, 4]

N = [1, -3, 3] ⨯ [-2, 1, 4] = - 5·[3, 2, 1]

X·[3, 2, 1] = [1, 0, -2]·[3, 2, 1]

3·x + 2·y + z = 1

b) Normalen-, und Parameterform der Ebene E2 durch P, die auf g1 senkrecht steht.

N = [2, -3, 1] - [1, 0, -2] = [1, -3, 3]

X·[1, -3, 3] = [-1, 1, 2]·[1, -3, 3]

x - 3·y + 3·z = 2

[2, 0, 0], [0, -2/3, 0], [0, 0, 2/3]

X = [2, 0, 0] + r·([0, - 2/3, 0] - [2, 0, 0]) + s·([0, 0, 2/3] - [2, 0, 0])

X = [2, 0, 0] + r·[- 2, - 2/3, 0] + s·[- 2, 0, 2/3]

X = [2, 0, 0] + r·[3, 1, 0] + s·[3, 0, - 1]

c) Die Gleichung der Schnittgeraden g2 der Ebene E1 und E2.

[1, 0, -2] + r·[1, -3, 3] + s·[-2, 1, 4] = [2, 0, 0] + t·[3, 1, 0] + u·[3, 0, -1]

r = 7/55·u + 14/55 ∧ t = - 8/11·u - 5/11 ∧ s = 17/55 - 19·u/55

[2, 0, 0] + (- 8/11·u - 5/11)·[3, 1, 0] + u·[3, 0, -1]

[9/11·u + 7/11, - 8/11·u - 5/11, - u]

X = [7/11, - 5/11, 0] + u·[9/11, - 8/11, -1]

d) Gleichung der Geraden g3, durch den Schnittpunkt von g1 und g2 und senkrecht zu g1 und g2.

[1, 0, -2] + r·[1, -3, 3] = [7/11, - 5/11, 0] + u·[9/11, - 8/11, -1]

r = 7/19 ∧ u = 17/19

S = [1, 0, -2] + 7/19·[1, -3, 3] = [26/19, - 21/19, - 17/19]

N = [1, -3, 3] ⨯ [9, -8, -11] = 19·[3, 2, 1]

X = [26/19, - 21/19, - 17/19] + r·[3, 2, 1]