Minimum zweier geometrischer Verteilungen

Question

Guten Tag liebe Community. Ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Es seien X~Geo(λ) und Y~Geo(μ) unabhängige, geometrisch verteilte zufallsvariablen mit Parametern λ,μ∈(0,1).

1. Wir setzen ρ:=λ+μ-λμ. Zeigen Sie, dass ρ∈(0,1).

2. Wir setzen Z:=min{X,Y}. Zeigen Sie, dass Z~Geo(ρ).

Problem/Ansatz:

Irgendwie fehlen mir für beide Aufgaben noch der richtige Ansatz. Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

1. Betrachte \(\rho=1-(1-\mu)(1-\lambda)\).

2. Betrachte die Verteilungsfunktionen. Es ist bspw. \(P(X\leq k)=1-(1-\lambda)^k\). Daraus folgt \(P(X>k)=(1-\lambda)^k\). Analog für \(Y\).

Mit \(Z\,:\!=\min\{X,Y\}\) ist nun \(P(Z>k)=P(X>k,Y>k)\stackrel{Unab.}{=}P(X>k)P(Y>k)\). Setze die Verteilungsfunktionen ein und du erhältst mit ein wenig Rechnerei \(P(Z>k)=(1-\rho)^k\).