Riemann-Integrierbarkeit beweisen: f(x)=cx+d und g(x)=sin(x) auf dem Intervall (a,b) ⊂ℝ.

Question

Ich habe Probleme beim lösen einer Aufgabe. Es handelt sich um das Thema Riemann-Integrierbarkeit. Die Aufgabe lautet: Man soll durch die Betrachtung der Ober- und Untersummen zeigen, dass die Funktionen f(x)=cx+d und g(x)=sin(x) auf dem Intervall (a,b)  ⊂ℝ integrierbar sind. Und man soll die Werte der entsprechenden Integrale bestimmen.

Wäre echt dankbar, wenn mir einer behilflich wäre . Bedanke mich im Voraus.

Comments

Würde mich auch interessieren.

Ich muss ja immer jeweils das sup und inf der jeweiligen Funktionen betrachten und dann gucken, ob die beiden (Ober- und Untersummen) gleich sind.

Ist ja erstmal die Frage, was ist je sup und inf der beiden Fkt.

bei f(x) = cx+d

müssten es ja die Intervallgrenzen a und b sein bzw. sup=b und inf=a, weil dies ja eine affin lineare Funktion ist.

bei g(x) = sin (x)

Der Sinus verläuft ja immer periodisch ziwschen 1 und -1, allerdings finde ich das schwierig zu entscheiden, wo da sup und inf liegt, wenn aber die Intervallgrenzen bei (a,b) liegt, weiß ich es nicht genau

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Schau vielleicht mal hier: https://www.mathelounge.de/tag/obersumme

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Danke. Die Suchfunktion hatte ich auch schon genutzt, aber da ist für diese Fälle leider nichts Nützliches vorhanden. Anscheinend muss man das ja mit einer selbst gewählten Zerlegung machen, die in diesem Fall aber ja wieder eine ganz andere sein wird und ich keine Ahnung habe, wie man darauf kommen soll.

Answer 1

f(x)=cx+d

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit: c ≥ 0.

Die Säulenbreite sei n und ist bei allen Säulen gleich--> Vor der Klammer lassen. Die tiefste Stelle ist links in den Säulen.

U_n = (b-a)/n * ((c*a + d) + (c(a + (b-a)/n) + d) +  (c(a + 2(b-a)/n) + d)+ (c(a + 3(b-a)/n) + d)...+ (c(a + (n-1)(b-a)/n) + d))

        |nun vereinfachen

=  (b-a)/n * ((c*a) + (c(a + (b-a)/n)) +  (c(a + 2(b-a)/n))+ (c(a + 3(b-a)/n))...+ (c(a + (n-1)(b-a)/n)) + (b-a)/n * n*d

=  (b-a)/n * ((c*a) + (c(a + (b-a)/n)) +  (c(a + 2(b-a)/n))+ (c(a + 3(b-a)/n))...+ (c(a + (n-1)(b-a)/n)) + (b-a)d

=  c(b-a)/n * ((a) + ((a + (b-a)/n)) +  ((a + 2(b-a)/n))+ ((a + 3(b-a)/n))...+ ((a + (n-1)(b-a)/n)) + (b-a)d

usw.

Du wolltest ja nur den Anfang. Vereinfache weiter bis du 

1+2+...+ (n-1) = n(n-1)/2 anwenden kannst. Dann Grenzwert gegen Un für n gegen unendlich berechnen und um Grenzwert von On vergleichen.

Nachtrag:

Die Differenz On - Un ist übrigens (b-a)/n * (c *b + d) = ((b-a)(cb + d))/n 

Der Grenzwert lim (On -Un) = lim  ((b-a)((cb + d - (ca+d))/n = lim  ((b-a)((cb - ca)/n  = 0. Womit die Intergrierbarkeit für gleichmässige Unterteilung des Intervalls (a,b) gezeigt ist.

Comments

Danke dir :D das war sehr hilfreich.