Folge (an) mit ao:=1 und an+1 := √(1 + an) Cauchy-Folge? Grenzwert?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit

\( a_{0}=1, \quad a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}}, \quad n \in \mathbb{N}_{0} \)

eine Cauchy-Folge ist, und berechnen Sie ihren Grenzwert.

Comments

Allgemeinere Fassung(?)

https://www.mathelounge.de/123527/rekursive-folge-grenzwert-a_n-1-√-c-a_n-und-a_1-c-0

Probier mal die Antwort dort auf deine Frage zu übertragen.

Answer 1

Grenzwertnachweis ist einfach:

Wenn man weiß, dass es einen Grenzwert  g gibt, kann man
die Gleichung   a_n+1 = √( a_n + 1) für n gegen unendlich betrachten.

Dann hast du    g  =  √(g+1)
also    g^2 = g+1
also  g^2 -g - 1 = 0
Ausgerechnet   g=  (1 + √(5) ) / 2 oder   g= (1 - √(5) ) / 2

Wegen a0=1 und an monoton steigend ist die erste
Möglichkeit die richtige.

Für den Nachweis "Cauchyfolge" musst du irgendwie finden,
dass der Unterschied aufeinanderfolgender Glieder beliebig
klein wird.