Bestimmen Sie { x ∈ R | |x^2 − 1| + |x − a| = 0 }

Question

Aufgabe:

Sei \( a \in \mathbb{R} \) ein Parameter. Bestimmen Sie \( \left\{x \in \mathbb{R}|| x^{2}-1|+| x-a \mid=0\right\} \).

Sei a ∈ R ein Parameter. Bestimmen Sie {x ∈ R | |x^2 − 1| + |x − a| = 0}

Answer 1

Wenn die Summe der beiden Beträge = 0 ist, geht das nur, wenn jeder
einzelne Betrag 0 ist, denn ein Betrag kann ja nicht negativ sein.

Also   | x^2-1|=0    und    |x-a| =0
Betrag gleich Null bedeutet aber, auch ohne Betrag ist das gleich Null
  x^2-1   =  0      und    x-a = 0
also x^2=1      und x= a
Die erste Gleichung hat die Lösungen 1 und -1, und da außerdem x=a gelten soll,
geht das nur  für  a=1  oder a=-1.

Ergebnis  falls a=1 ist es die Menge, die nur die 1 enthält
                  falls a=-1 ist es die Menge, die nur die -1 enthält
in allen anderen Fällen ist es die leere Menge

Answer 2

{x ∈ R | |x² − 1| + |x − a| = 0}

Die Summe von Beträgen ist nur dann 0, wenn bei Beträge 0 sind. ==> (x^2 = 1 <==> x=1 oder x=-1) und x=a.
1. Fall: a=1
==> x=1
L={1}
2. Fall: a=-1
==> x=-1
L={-1}

3. Fall a weder 1 noch -1
L= { }   leere Menge.