Lösungsmenge Ungleichung. 1/ |x − 2| > 1/ (1 + |x − 1|) x ∈ R \ {2}

Question

1/ |x − 2| > 1/ (1 + |x − 1|)     x ∈ R \ {2}

Man muss die Lösungsmenge der oben genanten Ungleichung angeben.

Ich komme leider kein bisschen voran, vor allem da ich bis jetzt nur entweder mit einem Bruch und einem Betrag hatte, aber hier sind es zwei Brüche und zwei Beträge!(sind das dann 8 Fälle ?)

Danke für die Hilfe!

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Wolframalpha rechnet mit komplexen Zahlen, daher können die Resultate etwas anders aussehen, als du es in ℝ erwartest. Zur Kontrolle kannst du dennoch studieren, was dir hier angegeben wird. https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F+%7Cx+−+2%7C+%3E+1%2F+(1+%2B+%7Cx+−+1%7C)

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F+%7Cx+%E2%88%92+2%7C+%3E+1%2F+(1+%2B+%7Cx+%E2%88%92+1%7C)+assume+x+real

Answer 1

Wenn Beträge ins Spiel kommen, helfen häufig Fallunterscheidungen.

Also mache zunächst verschiedene Fälle klar.

Ein Fall wäre x>2.

Jetzt kann man die Betragsstriche  überall weglassen.  Formen nun um.

Gibt es nun Lösungen für x>2?

Betrachte nun auch andere Fälle  und schau dir an,  wie du den Betrag anders ausdrücken kannst innerhalb deines Falles.

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Ok danke aber soweit weiß ich es auch. Wie gesagt Probleme mit einer Ungleichung die aus einem Bruch und Betrag besteht habe ich nicht! Aber es sind nun mal zwei von beiden und da hängt es bei mir. Wie genau jetzt die Fallunterscheidungen auszusehen haben.

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Naja, welche Fälle müssen wir denn noch betrachten, wenn wir x>2 schon haben und x=2 nicht in der Definitionsmenge habe?

x<2

Das können wir aufteilen in 1<=x <2 und x<1

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Also sind es nur 4 Fälle ?

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Ich zähle da nur drei Fälle.

Das Prinzip dahinter : schaust Dir an,  wann der Wert im Betrag positiv bzw. wann negativ ist.

Hier haben wir die Fälle:

Erster Betrag positiv und zweiter Betrag positiv.

Erster Betrag negativ,  zweiter positiv

Erster negativ und zweiter negativ.

Wenn du dir die Falle anschaust,  siehst du,  dass wir damit bereits alle reellen zahlen abdecken.

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Achso ok verstehe nun. Aber was ist mit dem Fall erster Bertrag positiv und zweiter negativ?

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x-2

x-1

Gibt's es den Fall?  Für welche x aus R sollte das gehen?

Der zweite Termin ist immer größer als der erste.

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So ich glaube ich habs jetzt und zwar

Gibt es die drei Fälle:
1.1 x>2 und x>=1 (beide positiv) da komme ich auf  lösungsmenge ={x>2}
1.2 x>2 und x<1 aber dieser kann ja ausgeschlossen werden (heißt es da eine Leere Menge vorliegt?)
2.1 x<2 und x>=1 (Erster Betrag negativ,  zweiter positiv)Lösungsmenge= {1<x<2}
2.2 x<2 und x<1 (Erster negativ und zweiter negativ)da komme ich komischerweise auf 0>0

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" 1.2 x>2 und x<1 aber dieser kann ja ausgeschlossen werden (heißt es da eine Leere Menge vorliegt?) "

Richtig. Zahlen x die grösser als 2 UND kleiner als 1 sind, gibt es nicht. 

Answer 2

Alternativ ohne Fallunterscheidung: Für \(x\ne2\) ist \(\dfrac1{\vert x-2\vert}>\dfrac1{1+\vert x-1\vert}\) äquivalent zu$$1+\vert x-1\vert>\vert x-2\vert\Longleftrightarrow1+2\vert x-1\vert+x^2-2x+1>x^2-4x+4\Longleftrightarrow\vert1-x\vert>1-x.$$

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Wie komme ich dadurch auf eine Lösungsmenge ?

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Du musst nun nur noch eine Fallunterscheidung machen.

Und erst zum Schluss noch x=2 aus der Lösungsmenge entfernen, falls die Lösungsmenge denn die 2 enthalten sollte.