Fall x ≥ 0
x^3 + x^2 - x ≥ 0
Ersteinmal einschränken auf
x^3 + x^2 - x = 0
x * ( x^2 + x - 1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x^2 + x -1 = 0
x = √ (5 / 2) - 1/2 = =0.618
x = √ (5 / 2) - 1/2 = = - 1.618
Nullstellen
( -1.618 | 0 ) ( 0 | 0 ) ( 0.618 | 0 )
Da x ≥ 0 ist ( Eingangsvoraussetzung )
müssen nur die Bereiche
x = 0 bis 0.618
und
x = 0.618 .. ∞ betrachtet werden.
Man nehme eine Stelle im ersten Bereich
z.B. x = 0.5 und setzte diese in
x / ( 1 + x ) ≤ x^2 ein
( Punktprobe genannt )
0.5 / 1.5 ≤ 0.5 ^2
0.333 ≤ 0.25
Falsch.
Also muß die Aussage für den 2.Bereich
richtig sein
Test mit x = 1
x / ( 1 + x ) ≤ x^2 ein.
1 / 2 ≤ 1 ^2
0.5 ≤ 1
Stimmt
Lösungsmenge für Fall 1
x = [ 0.618 .. ∞ [
Eine graphische Überprüfung bestätigt
das Ergebnis.