Kurvenanpassung, Steckbriefaufgabe. Tiefpunkt P(0|0) und Hochpunkt A(2|1).

Question

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades deren Graph in P(0|0) eine Tiefpunkt und in A (2|1) einen Hochpunkt hat.

Answer 1

Tiefpunkt P(0|0)

Ansatz. f(x) = x^2 (ax + b) = ax^3 + bx^2

Nun den Hochpunkt einsetzen → Gleichung (I)

f ' (2) = 0 liefert die zweite Gleichung (II).

Dann dein LGS noch lösen.

Answer 2

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades deren
Graph in P(0|0) eine Tiefpunkt und in A (2|1) einen Hochpunkt hat.

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ( 0 ) = 0 => d = 0

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x
f ´( x ) = 3a*x^2 + 2b*x +c
f ´´( x ) = 6a*x + 2b

f ´( 0 ) = 3a*0^2 + 2b*0 +c = 0  => c = 0

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2
f ´( x ) = 3a*x^2 + 2b*x

f ( 2 ) = a*2^3 + b*2^2 = 1
f ´( 2 ) = 3a*2^2 + 2b*2 = 0

8a + 4b = 1
12a + 4b = 0 | abziehen
-----------------
-4a = 1
a = -0.25
8*(-0.25) + 4b = 1
4b = 3
b = 0.75

f ( x ) = -0.25*x^3 + 0.75*x^2

Answer 3

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades deren Graph in P\((0|0) \)einen Tiefpunkt und in A\( (2|1)\) einen Hochpunkt hat.

wegen doppelter Nullstelle im Tiefpunkt: \(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)

Extremwert:

A\( (2|...)\):

\(f'(x)=a(3x^2-2Nx)\)

\(f'(2)=a(12-4N)=0\)

\(N=3\):

\(f(x)=a(x^3-3x^2)\)

A\( (2|1)\):

\(f(2)=a(8-12)=-4a=1\)

\(a=-\frac{1}{4}\)

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x^3-3x^2)\)